Weiß nicht wie ich mit der Wurzel umgehen soll, kann das einer erklären?

Question

Ich brauche die partielle Ableitung nach r und nach g. Weiß nicht wie ich mit der Wurzel umgehen soll, kann das einer erklären?

\( \mathrm{T}=2 \pi \cdot \sqrt{\mathrm{r} / \mathrm{g}} \)

Bitte um Hilfe, komme nicht weiter. Vielen Dank

Comments

Wurzel ist nichts anderes als hoch 1/2 und darauf kannst du ja Potenzgesetze anwenden

Answer 1

Aloha :)

Ich vermute, du brauchst den Fehler \(\Delta T\):$$\Delta T=\sqrt{\left(\frac{\partial T}{\partial r}\Delta r\right)^2+\left(\frac{\partial T}{\partial g}\Delta g\right)^2}$$von der Messgröße$$T=2\pi\sqrt{\frac rg}=2\pi\cdot r^{\frac12}\cdot g^{-\frac12}$$Dazu rechne die beiden partiellen Ableitungen aus$$\frac{\partial T}{\partial r}=2\pi\cdot\frac12r^{-\frac12}\cdot g^{-\frac12}=\frac{\pi}{\sqrt{rg}}\implies\left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)^2=\frac{\pi^2}{rg}$$$$\frac{\partial T}{\partial g}=2\pi\cdot r^{\frac12}\cdot\left(-\frac12\right)g^{-\frac32}=-\frac{\pi\sqrt r}{\sqrt{g^3}}\implies\left(\frac{\partial T}{\partial g}\right)^2=\frac{\pi^2r}{g^3}$$und setze sie in den Gauß-Felher von oben ein$$\Delta T=\sqrt{\frac{\pi^2}{rg}(\Delta r)^2+\frac{\pi^2r}{g^3}(\Delta g)^2}=\sqrt{\frac{\pi^2r}{g}\left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2+\frac{\pi^2r}{g}\left(\frac{\Delta g}{g}\right)^2}$$$$\phantom{\Delta T}=2\pi\sqrt{\frac rg}\cdot\frac12\sqrt{\left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2+\left(\frac{\Delta g}{g}\right)^2}=T\cdot\frac12\sqrt{\left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2+\left(\frac{\Delta g}{g}\right)^2}$$Damit erhalten wir die Fehlerfortpflanzung für die relativen Fehler:$$\frac{\Delta T}{T}=\frac12\sqrt{\left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2+\left(\frac{\Delta g}{g}\right)^2}$$Aus der Wurzel resultiert letztendlich der Vorfaktor \(\frac12\) bei der Summation der relativen Fehler.

Answer 2

$$T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{r}{g}} = 2 \cdot \pi \cdot r^\frac{1}{2} \cdot g^{- \frac{1}{2}}$$

Schaffst du es damit, die partiellen Ableitungen zu machen?

Answer 3

nach r : g wie eine Konstante/Zahl behandeln

T = 2π/g^(1/2) * r^(1/2) -> T' = 2π/√g * 1/2*r^(-1/2) = π/√(g*r)

nach g: r ist Konstante

2π*√r* g^(-1/2) -> t' = 2π*√r* (-1/2)*g^(-3/2) = -π*√r /g^(3/2)