Integralsatz von Gauß Zylinderkoordinaten

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

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Aufgabe 3:
Für ein beliebiges $c>0$ sei das Vektorfeld $V: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$,
(5 Punkte)
$V(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (\pi+x y) \sin \left(c^{4}-z^{4}\right) \end{array}\right)$
und das Raumstück
$G=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq 4,0 \leq z \leq c\right\}$
gegeben.
a) Beschreiben Sie $G$ mittels Zylinderkoordinaten.
b) Ermitteln Sie das Volumenintegral $\int \limits_{G} \operatorname{div} V d(x, y, z)$ mit Hilfe eines geeigneten Integralsatzes.

Ich habe vor allem bei der b Schwierigkeiten, mir ist bewusst, dass ich den Integralsatz von Gauß brauche, aber ich bekomme bei der Divergenz nur schrott raus.

Answer 1

Aloha :)

zu a) In Zylinderkoordinaten können wir die Punktmenge$$G\coloneqq\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,x^2+y^2\le4\;,\;0\le z\le c\right\}$$durch folgenden Ortsvektor abtasten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in[0;c]$$

zu b) Zur Berechnung des Integrals wenden wir den Gauß'schen Integralsatz an:$$I=\int\limits_G\operatorname{div}\begin{pmatrix}0\\0\\(\pi+xy)\sin(c^4-z^4)\end{pmatrix}\,dV=\oint\limits_{\partial G}\begin{pmatrix}0\\0\\(\pi+xy)\sin(c^4-z^4)\end{pmatrix}\,d\vec f$$Wir müssen über die geschlossene Fläche des Zylindervolumens $G$ integrieren. Da der Normalenvektor $d\vec f_M$ des Mantels senkrecht zur $z$-Achse steht, brauchen wir hier das Flächenintegral nur über den Boden $z=0$ und den Deckel $z=c$ des Zylinders zu berechnen. Für den Deckel verschwindet jedoch die $z$-Komponente des Vektorfeldes, sodass wir allein den Fluss durch den Boden bestimmen müssen. Da der Normalenvektor nach außen gerichtet ist, gilt für das entsprechende Flächenelemente:$$d\vec f_{\text{Boden}}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\,r\,dr\,d\varphi$$Damit können wir wie folgt rechnen:$$I=\int\limits_{\text{Boden}}\begin{pmatrix}0\\0\\(\pi+r\cos\varphi\,r\sin\varphi)\sin(c^4-0^4)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}-(\pi+r\cos\varphi\,r\sin\varphi)\sin(c^4)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=-\sin(c^4)\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(\pi\,r+r^3\cos\varphi\sin\varphi)\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=-\sin(c^4)\int\limits_{r=0}^2\left[\pi\,r\,\varphi+\frac12r^3\sin^2\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\,dr=-2\pi^2\sin(c^4)\int\limits_{r=0}^2r\,dr$$$$\phantom{I}=-2\pi^2\sin(c^4)\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^2=-4\pi^2\,\sin(c^4)$$