Größtmögliche, reguläre Untermatrix

Question

ich habe diese Matrix:

1    0   -2   0   0

-1   0   -1   0  -1

-1   1   1   -2  -2

Wie finde ich jetzt die größtmögliche, reguläre Untermatrix? und sieht man auf den ersten Blick schon welches Format eine solche Matrix besitzt?

Den Rang habe ich schon durch das Gauss Verfahren bestimmt, der müsste, wenn ich nach meinem Endergebnis gehe

3 sein, weil ich doch dann nur schauen muss, welche Zeilen ungleich Null sind...aber was sagt mir das dann für die Untermatrix?

1  0   -2   0    0

0  0   -3   0    -1

0  1  -1   -2   -2

Normalerweise kann ja die Untermatrix durch streichen von bestimmten zeilen und spalten bestimmt werden, aber es müsste doch auch rechnerisch gehen? und was wäre der Unterschied zu einer möglichst kleinen Untermatrix?

sorry für die vielen fragen...

Answer 1

Da die Matrix nur 3 Zeilen besitzt, kann ihr Rang höchstens 3 sein.

Das bedeutet unter anderem, dass die Spalten einen 3-dimensionalen

Unterraum des \(R^5\) aufspannen. Wir suchen nun unter den Spaltenvektoren

irgend drei linear unabhängige zu finden. Wenn man Vielfache

der zweiten Spalte zu den anderen Spalten addiert (elementare Spaltenumformung),

ändert sich der von den Spalten erzeugte Unterraum nicht.

Addiren wir also die 2. Spalte zur Spalte 1 und subtrahieren wir

die 2. Spalte von Spalte 3, dann bleibt der Rang erhalten.

Die ersten 3 Spalten lauten nun

\((1,-1,0)^T,(0,0,1)^T,(-2,-1,0)^T\). Diese sind offenbar linear unabhängig.

Folglich bilden die drei ersten Spalten der Ausgangsmatrix eine reguläre

Untermatrix maximalen Ranges.

Übrigens: du schreibst

"Wie finde ich jetzt die größtmögliche, reguläre Untermatrix?".

Es muss heißen:

"Wie finde ich jetzt EINE größtmögliche, reguläre Untermatrix?".

Comments

Danke für die fixe Antwort :-) Merke mir auf jeden Fall das "eine" ;-)

Answer 2

Rang 3 heißt: Die größtmögliche reguläre Untermatrix

ist vom Typ 3x3. Hier die letzten 3 Spalten.

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Vielen Dank für die Antwort ;-)