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Frage:

Die \( 4 \times 5 \) Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{ccccc} {1} & {1} & {1} & {0} & {2} \\ {0} & {1} & {2} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {3} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} & {1} & {2} \end{array}\right) $$
(a) hat den Rang \( 2 . \)
(b) hat den Rang \(3.\)
(c) hat den Rang \(4.\)
(d) hat den Rang \( 5 . \)

Lösung:

(c). Die \( 4 \times 4 \) Untermatrix
$$ \left(\begin{array}{llll} {1} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {0} \\ {1} & {0} & {3} & {0} \\ {0} & {1} & {1} & {1} \end{array}\right) $$
ist regulär, da
$$ \begin{array}{l}{\qquad |\left(\begin{array}{llll}{1} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {0} \\ {1} & {0} & {3} & {0} \\ {0} & {1} & {1}\end{array}\right)}\end{array}|=1 \cdot|\left(\begin{array}{lll}{1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {2} \\ {1} & {0} & {3}\end{array}\right) |=4 \neq 0 $$

Daraus folgt, dass \( \operatorname{rg}(A) \geq 4 . \) Da \( A \) die Dimension \( 4 \times 5 \) hat, ist \( \operatorname{rg}(A) \leq 4 . \) Daher gilt \( \operatorname{rg}(A)=4 \)

Hi Leute!

Leider verstehe ich die Lösung zu der oben stehenden Aufgabe nicht. Wie kommt man von der 4 x 4 Untermatrix zu der anderen Seite der Gleichung und davon wiederum auf 4? Ich wäre für jede mögliche Hilfe dankbar :)

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Hier wurde nach der letzten Spalte der 4x4-Untermatrix "entwickelt".

Als nächsten Schritt kannst du nach der ersten Spalte entwickeln.

Det(U) = 1* (3-0) - 0 + 1*( 2-1) = 3 + 1 = 4

Link zum Entwicklungssatz von Laplace mit Formel und Beispiel: http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node49.html

Avatar von 162 k 🚀

Vielen Dank, der Link hat mir sehr weitergeholfen! Eine Frage stellt sich mir jedoch noch: Was haben die Determinante und der Rang einer Matrix für ein gemeinsames Verhältnis? In der obenstehenden Aufgabe haben wir ja bereits die Determinante des Unterraums bestimmt. Woher schließen wir nun, dass der Rang der Matrix A gleich 4 ist?

Ist die Determinante ≠ 0, so hat die Matrix maximalen Rang. Also hier Rang 4.

Der genau Wert der Determinante ist dabei egal. Auch wenn die Determinante der gewählten 4x4-Teilmatrix 25 wäre, ist ihr Rang nur 4.

Das ist in der Musterlösung im Satz nach der Berechnung der Determinante noch mathematischer erklärt.

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