Frage:
Die \( 4 \times 5 \) Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{ccccc} {1} & {1} & {1} & {0} & {2} \\ {0} & {1} & {2} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {3} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} & {1} & {2} \end{array}\right) $$
(a) hat den Rang \( 2 . \)
(b) hat den Rang \(3.\)
(c) hat den Rang \(4.\)
(d) hat den Rang \( 5 . \)
Lösung:
(c). Die \( 4 \times 4 \) Untermatrix
$$ \left(\begin{array}{llll} {1} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {0} \\ {1} & {0} & {3} & {0} \\ {0} & {1} & {1} & {1} \end{array}\right) $$
ist regulär, da
$$ \begin{array}{l}{\qquad |\left(\begin{array}{llll}{1} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {0} \\ {1} & {0} & {3} & {0} \\ {0} & {1} & {1}\end{array}\right)}\end{array}|=1 \cdot|\left(\begin{array}{lll}{1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {2} \\ {1} & {0} & {3}\end{array}\right) |=4 \neq 0 $$
Daraus folgt, dass \( \operatorname{rg}(A) \geq 4 . \) Da \( A \) die Dimension \( 4 \times 5 \) hat, ist \( \operatorname{rg}(A) \leq 4 . \) Daher gilt \( \operatorname{rg}(A)=4 \)
Hi Leute!
Leider verstehe ich die Lösung zu der oben stehenden Aufgabe nicht. Wie kommt man von der 4 x 4 Untermatrix zu der anderen Seite der Gleichung und davon wiederum auf 4? Ich wäre für jede mögliche Hilfe dankbar :)
