Rang einer Matrix anhand von Eigenschaften

Question

Hey Leute,

bei dieser Übungsaufgabe sollen Eigenschaften einer Matrix anhand von gegebenen Informationen bestimmt werden:

M=reelle Matrix

(1) M hat 6 Zeilen und 5 Spalten
(2) Die vierte Spalte von M lässt sich auf mehr als eine Weise aus den ersten drei Spalten linear kombinieren
(3) M enthält eine reguläre 3x3 Untermatrix

a) Welchen Rang hat die Matrix M?
b) Was sagt es über Spalte 1, 2, 3 aus, dass Spalte 4, auf mehr als eine Weise, aus ihnen linear kombinierbar ist?
c) Was würde es über die Spalten 1, 2, 3 aussagen, wenn die 4. Spalte nur auf eine Art und Weise aus ihnen linear kombinierbar ist?

Ich habe zwei Vermutungen bezüglich a):

1. Vermutung: Die Matrix hat den Rang 3, weil eine reguläre 3x3 Untermatrix enthalten ist.

(Ist eine reguläre Untermatrix immer die größte invertierbare Untermatrix?)

2. Vermutung: Man kann den Rang nur einschränken aber nicht genau bestimmen. Der Rang ist mindestens 3 (wegen der regulären 3x3 Untermatrix) und maximal 4,
weil Spalte 4 (von insgesamt 5) aus den Spalten 1-3, auf mehrere Weisen linear kombinierbar, und somit linear abhängig, ist.

b) Spalte 4 ist dann linear abhängig gegenüber den Spalten 1-3. Sagt es über die Spalten 1-3 dann gleichzeitig aus, dass diese auch linear abhängig sind?

c) Hier bin ich ratlos. Sind die Spalten dann linear unabhängig? Bei unabhängigen Spalten lässt sich keine aus den anderen linear kombinieren. Nicht einmal auf eine Weise, oder? Dann heißt es, sie sind linear abhängig?

Beste Grüße

Answer 1

c)  Wenn s1,s2,s3,s4 die 4 Spalten sind, dann heißt das doch,

Es gibt abcdef mit

as1+bs2+cs3=s4 und ds1+es2+fs3=s4 #

==>  as1+bs2+cs3= ds1+es2+fs3

==>  (a-d)s1+(b-e)s2+(c-f)s3= 0  ##

Und da es bei # verschiedene Linearkombinationen sind,

ist mindestens eine Klammer ungleich 0, also ist

## eine nichttriviale Lin.komb.

des Nullvektors.

==>   s1,s2,s3 lin. abh.

Comments

Wow, vielen Dank! Das ist eine gute Erklärung zu b).

Ich kann leider nicht einordnen ob es mir auch neue Erkenntnisse zu a) liefert.

Und bei c) habe ich leider auch immer noch ein Brett vor dem Kopf.

Wenn es nur eine Möglichkeit gibt Spalte 4 aus den Spalten 1-3 zu kombinieren, statt mehrerer, wie in b), müssten Spalten 1-3 demnach linear unabhängig sein. Aber nur solange man sie nicht mit Spalte 4 gemeinsam betrachtet, richtig?