Ist A nicht symmetrisch, sondern triangulierbar so gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Ist A ∈ R^n,n nicht symmetrisch, sondern triangulierbar (über R), so gilt
keine der beiden Gleichungen aus a) im Allgemeinen.

Gleichungen aus a):

λ_max= max \( \frac{x^HAx}{x^Hx} \) (dasselbe für λ_min)

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Ansatz. Vielleicht ein Beispiel in dem das nicht gilt aber weiß nicht wie ich eins finden soll.

Comments

Alle 1x1 Matrizen sind symmetrisch, also versucht man es mit 2x2 Matrizen:

0 1

0 0

Das maximum ist hier 1/2 das Minimum -1/2 Die Matrix hat aber nur EW 0.

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Vielen Dank!

Wie sind Sie jetzt auf das Max und Min gekommen?

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Für reelle Vektoren \( x = (u~~v)^T \neq (0~~0)^T \) ist

$$ x^H A x = (u~~ v) \begin{pmatrix}v\\0\end{pmatrix} = u v $$ $$ x^H x = u^2 + v^2$$

Wegen \( 0\le (u-v)^2 = u^2  -2uv + v^2 \) ist \( 2uv \le \underbrace{u^2 + v^2}_{\ge 0} \) und somit

$$ \frac{uv}{u^2+v^2} \le \frac{1}{2} $$

Analog wegen \( 0\le (u+v)^2 = u^2  +2uv + v^2 \) ist \( -2uv \le u^2+v^2 \) ...

$$ \frac{uv}{u^2+v^2} \ge - \frac{1}{2} $$

Für u=v bzw. u=-v werden die Werte 1/2 und -1/2 auch angenommen.