Annulator: 0 N := {x ∈ V | ∀Φ ∈ N : Φ(x) = 0}

Question

Aufgabe:

Für einen K-Vektorraum V und eine Teilmenge N ⊂ V^* = L(V, K) seines Dualraums heißt

⁰ N := {x ∈ V | ∀Φ ∈ N : Φ(x) = 0}

der (primale) Annulator von N. Es handelt sich um die Menge aller gemeinsamer Nullstellen der Linearformen aus N. Sei V außerdem endlich erzeugt. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

a) Für N ⊂ V^* ist ⁰ N ≤ V ein Unterraum.

b) Für je zwei Unterräume U1, U2 ≤ V gilt (U1 ∩U2 )⁰ = U1⁰ + U2⁰

c) Für M ⊂ V gilt ⁰ (M⁰ ) = Span M.

Problem/Ansatz:

Hallo! Ich muss folgende Mathe Aufgabe bekommen, aber habe Probleme Sie zu lösen. Ich hoffe es kann mir jemand helfen! Hilfe als weinachtsgeschenk bitte.

Comments

Hallo, Frage inzwischen erledigt und Antwort verstanden? Habe gerade aus deinem "Tag" Annuität Annulator gemacht. Inzwischen klar, dass das verschiedene Sachen sind?

Answer 1

a) Zeige ein Unterraumkriterium, also etwa:  Sei N⊆V*, dann gilt

1. 0∈⁰N , also für alle f∈N gilt f(0)=0. Das stimmt, weil ja f insbesondere eine

lineare Abb. ist.

2. Für u,v ∈⁰N ist auch u+v∈⁰N.  Auch hier wegen der Linearität gilt für alle f∈N

f(u+v) = f(u)+f(v)=0+0=0

3. Für v ∈⁰N und x∈K ist auch x*v∈⁰N. Auch hier wegen der Linearität gilt für alle f∈N
f(x*v) = x*f(v)=x*0=0 .

Comments

Danke ich versuche es

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Können Sie bitte a vorrechnen. Ich habe es nicht hinbekommen. :(

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Habe ich doch: Du musst 3 Dinge zeigen:

1. 0∈0N   
2. Für u,v ∈0N ist auch u+v∈0N.
3. Für v ∈0N und x∈K ist auch x*v∈0N.

Die Argumente habe ich oben genannt.

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Wie ist das geanu mit b und c?

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Ich werde sehr dankbar, wenm du b und c auch erklärst. Ich werde deine Hilfe nie vergessen.

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b) Für je zwei Unterräume U1, U2 ≤ V gilt (U1 ∩U2 )⁰ = U1⁰ + U2⁰  

Annulator ist doch für Teilemengen von V* definiert ???

Was ist denn die nachgestellte "hoch 0 " ?