Ich möchte für einen Vektor einen Basiswechsel durchführen. Dazu habe ich ein paar Verständnisfragen. Gegeben ist ein Vektor im R^2 ausgedrückt mit den orthonomalen Basisvektoren des R^2:
\( \boldsymbol u = u^1 \boldsymbol e_1 + u^2 \boldsymbol e_2 = 4 \boldsymbol e_1 + \frac{3}{2} \boldsymbol e_2 = \bar{u}^1 \boldsymbol g_1 + \bar{u}^2 \boldsymbol g_2 \)
Die neue Basis g ist gegeben durch:
\( \boldsymbol g_1 = \boldsymbol e_1 \ \ \text{und} \ \ \boldsymbol g_2 = \frac{1}{\sqrt 2} (\boldsymbol e_1 + \boldsymbol e_2) \)
Also gilt für die Koeffizienten in der neuen Basis (Die neuen Koeffizienten transformieren sich kontravariant, wohingegen die neuen Basisvektoren sich covariant transformieren):
\( \begin{bmatrix} \boldsymbol g_1 \\ \boldsymbol g_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol e_1 \\ \boldsymbol e_2 \end{bmatrix} = \boldsymbol A \begin{bmatrix} \boldsymbol e_1 \\ \boldsymbol e_2 \end{bmatrix} \) ,
\( \begin{bmatrix} \bar{u}^1 \\ \bar{u}^2 \end{bmatrix} = \boldsymbol A^{-T} \begin{bmatrix} u^1 \\ u^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} \\ \frac{3 \sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \)
Damit sind jetzt sowohl die neuen Basisvektoren, als auch die Koeffizeiten in der Basis b bekannt. Problem ist jedoch, dass die Länge des Vektors (L2-Norm) in der neuen Basis g nicht mit der Ursprungslänge (in der Orthonormalbasis) übereinstimmt. In meinem Skript steht, dass hierzu die Dualbasis zu g bestimmt werden muss. Die Dualvektoren zu der Basis g sind dann die Spalten der inversen Matrix von A, also gilt:
\( \begin{bmatrix} \boldsymbol g^1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \text{und} \begin{bmatrix} \boldsymbol g^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \end{bmatrix} \)
Die hochgestellten Indizes bedeuten, dass dies jetzt kontravariante Basisvektoren sind. Die Koeffizienten der Dualbasis transformieren sich hingegen kovariant, also tiefgestellte Indizes:
\( \begin{bmatrix} \bar{u}_1 \\ \bar{u}_2 \end{bmatrix} = \boldsymbol A \begin{bmatrix} u^1 \\ u^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ \frac{11 \sqrt(2)}{4} \end{bmatrix} \)
Wenn man jetzt die L2 Norm aus dem Produkt der covarianten Basisvektoren mit den kontravarianten Basisvektoren berechnet ergibt sich wieder die korrekte Vektorlänge.
Jetzt meine Fragen:
Also die Basistransformation und die Berechnung der Koeffizienten in der neuen Basis sind mir klar. Auch die Berechnung der Dualbasis über die Inverse der Transformationsmatrix verstehe ich. Nun kommt mein Verständnisproblem:
-Die "Dualvektoren" werden bei mir im Skript als kontravariante Vektoren bezeichnet (hochgestellte Indizes). Warum ist das so? Beim Basiswechsel zu der Basis g werden sie ja ganz oben als covariant bezeichnet (tiefgestellte Indizes). Im Dualraum auf einmal kontravariant. Wieso?
-Die Berechnung der kovarianten Koeffizienten in der Dualbasis ergibt sich ja aus meiner letzten Formel (Matrix A * Koordinaten u). Wie kommt man auf meine letzte Formel? Bei der neuen Basis g wurden die kovarianten Koeffizienten ja mit (A^-T * Koordinaten u) berechnet.
