Umkehrfunktion von a^x bilden

Question

Aufgabe:

Bilden Sie die Umkehrfunktion von f(x)= a^x

Problem/Ansatz:

Hallo, ich hoffe jemand kann mir helfen diese Aufgabe zu lösen... alleine habe ich es leider nicht geschafft.

Answer 1

y= \( a^{x} \) | ln

ln y=x*ln a |:lna

\( \frac{ln y}{lna} \)=x

x,y Tausch

y=\( \frac{ln x}{lna} \)

Comments

könnte ich auch als Lösung k(x)= log_a(x) raus bekommen? ohne durch ln_a

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Warum muss ich hier ln benutzen und nicht log? hier ist ja keine eulersche zahl angegeben

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könnte ich auch als Lösung k(x)= log_a(x) raus bekommen?

Selbstverständlich!

Warum muss ich hier ln benutzen und nicht log?

Du musst den ln nicht benutzen.

Answer 2

y= a^x

vertauschen:

x=a^y

nach y auflösen:

ln(x) = ln(a^y) = y*ln(a)

y= ln(x)/ln(a) = f^(-1)(x)

Comments

y = a^x

Logarithmieren

log_a(y) = log_a(a^x)
log_a(y) = x
x = log_a(y)

x und y vertauschen

y = f^{-1}(x) = log_a(x)

alternativ eben

y = f^{-1}(x) = ln(x) / ln(a)

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Warum muss ich hier ln benutzen und nicht log? hier ist ja keine eulersche zahl angegeben

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Du Hasentöter, ich hätte da mal eine Frage: Mir fällt auf, dass in der Mathelounge viele Antwortgeber die Ansicht vertreten, die Umkehrfunktion von x → y sei x → y. Da wo ich herkomme, meint man, die Umkehrfunktion von x → y sei y → x. Ist die erste Variante im deutschländischen Matheunterricht üblich? Ich kenne aus diversen Ländern nur die zweite Variante.

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wovon redest du?

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Ich meine den Hasentöter, nicht Dich.

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Warum muss ich hier ln benutzen und nicht log? hier ist ja keine eulersche zahl angegeben.

Du musst nicht den ln nehmen. Man könnte jeden beliebigen Logarithmus nehmen. Man schreibt dann auch allgemein log ohne eine bestimmte Basis.

y = ln(x) / ln(a)
y = log(x) / log(a)

Der faule Mathematiker schreibt allerdings meist ln statt log, weil er sich so einen Buchstaben spart und in obigem Ausdruck sogar zwei Buchstaben. Und in Brüchen werden dabei sogar auch meist noch die Klammern weggelassen.

$$y=\frac{\ln x}{\ln a}$$

Aber haltet euch einfach so daran, wie ihr es gelernt habt.

Answer 3

Umkehrfunktion von y = a^x

x = log_a (y) = ln (y) / ln (a)

Comments

Warum muss ich hier ln benutzen und nicht log? hier ist ja keine eulersche zahl angegeben

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Diese Anwendung der Logarithmengesetze wird üblicherweise verwendet, weil es auf den Taschenrechnern zwar eine ln-Taste gibt aber keine log_a-Taste.

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Aber hier in der Aufgabe stand nichts von der eugenischen Zahl... da verstehe ich nicht warum man ln benutzt... ich dachte ln benutzt man, wenn man e auflösen möchte... und hier ist kein e vorhanden...

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stand nichts von der eugenischen Zahl

Ohje. Mach Dich bitte vertraut mit

- der Namensgebung der Eulerschen Zahl mit meinem Landsmann L. Euler

- dem Wort Eugenik

- den Logarithmengesetzen.

Answer 4

\(f^{-1}(x)=\log_a(x)\).

Denke an die Definition des Logarithmus.

Comments

Was muss ich rechnen damit ich log_a(x) raus bekomme?

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Du musst nichts rechnen. Du musst nur wissen, wie

der Logarithmus definiert ist.