Wie vereinfache ich Logarithmusaufgaben?

Question

Aufgabe:

Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f (x) = √x · ln(x) und vereinfachen soweit wie möglich

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand schrittweise diese Aufgabe erläutern ?

Answer 1

Aloha :)

$$f'(x)=\left(\underbrace{\sqrt x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}\right)'=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt x}}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}+\underbrace{\sqrt x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac1x}_{=v'}=\frac{\ln(x)}{2\sqrt x}+\frac{\cancel{\sqrt x}\cdot1}{\cancel{\sqrt x}\cdot\sqrt x}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{\ln(x)}{2\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt x}=\frac{\ln(x)}{2\sqrt x}+\frac{2}{2\sqrt x}=\frac{\ln(x)+2}{2\sqrt x}$$

Answer 2

Hallo

einfach nach Produktregel ableiten, dann vereinfachen indem man 1/√2 oder √x/x, was dasselbe ist ausklammert.

Gruß lul

Answer 3

Produktregel:

u =√x = x^(1/2) -> u' = 1/2*x^(-1/2)

v= ln(x) -> v' = 1/x

...

Comments

und weiter vereinfacht?

Answer 4

f(x) = √x * ln(x) = x^(1/2) * ln(x)

Ableitung mit Produktregel

f'(x) = 1/2 * x^(- 1/2) * ln(x) + x^(1/2) * 1/x

f'(x) = 1/2 * x^(- 1/2) * ln(x) + x^(1/2) * x^(-1)

f'(x) = 1/2 * x^(- 1/2) * ln(x) + x^(- 1/2)

f'(x) = 1/2 * x^(- 1/2) * (ln(x) + 2)

Comments

Wie vereinfache ich aber weiter ?

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Noch weiter vereinfachen geht leider nicht. Aber es ist doch jetzt schon sehr einfach. Willst du jetzt Nullstellen berechnen?

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Erstmal vielen vielen Dank für dein Engagement, kann man noch weiter einklammern ?

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Erstmal vielen vielen Dank für dein Engagement, kann man noch weiter einklammern ?

Du hast in ln(x) und 2 keinen gemeinsamen Faktor mehr den du noch ausklammern kannst. Daher kannst du nicht weiter ausklammern.

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Ist \( \frac{ln(e·\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \)   einfacher ?