Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wenn du den Ausdruck ein klein wenig umformst:
$$\phantom{=}(n+2)^3+2(n+2)=(\;(n+2)^2+2)(n+2)=(n^2+4n+6)(n+2)$$$$=(n^2+4n+3+3)(n+2)=(\;(n+1)(n+3)+3)(n+2)$$$$=(n+1)(n+2)(n+3)+3(n+2)$$erkennst du, dass dieser immer durch \(3\) teilbar sein muss. Der erste Summand ist die Folge von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, sodass eine von ihnen sicher durch 3 teilbar ist. Der zweite Summand enthält den Faktor \(3\). Daher ist:$$A(n)\coloneqq\frac{(n+2)^3+2(n+2)}{3}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}+(n+2)\in\mathbb N$$
Du erkennst auch, dass das nicht nur für \(n\ge3\) gilt, sodnern für alle \(n\in\mathbb N\).
Eigentlich bist du damit schon fertig, du kannst den Induktionsschritt aber auch noch ausführen:
$$A(n+1)=\frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{3}+(n+3)$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+2)(n+3)(n+1+3)}{3}+n+2+1$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+2)(n+3)(n+1)+3(n+2)(n+3)}{3}+n+2+1$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}+\frac{3(n+2)(n+3)}{3}+n+2+1$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}+(n+2)+\frac{3(n+2)(n+3)}{3}+1$$$$\phantom{A(n+1)}=A(n)+(n+2)(n+3)+1$$Nach Induktionsvoraussetzung ist \(A(n)\in\mathbb N\), sodass auch \(A(n+1)\in\mathbb N\) sein muss.
