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Aufgabe:

$$\text{ Es sei }r\in[0,1)\text{ und }x\in\mathbb{R}.\text{ Beweisen Sie, dass }$$

$$\sum \limits_{k=0}^{\infty}r^{k}cos(kx)=\frac{1-cos(x)}{1-2rcos(x)+r^2}$$
Problem/Ansatz:

Es sieht für mich so aus als müsste ich hier die Geometrische Reihe und den Moivrescher Satz verwenden.

Bis jetzt konnte ich aber noch zu keinem Ergebnis kommen und würde mich über Hilfe freuen.

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2 Antworten

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Beste Antwort

Ich greife abakus' Idee hier auf:

Sei \(z=r(\cos(x)+i\sin(x))\) mit \(r\in [0,1)\), also i.b. \(r=|z|\lt 1\)

es ist $$\sum_{k=0}^{\infty} Re(z^k)=Re(\sum z^k)=Re(\frac{1}{1-z})$$

Der rechtsstehende Realteil liefert genau den erwünschten Ausdruck.

Avatar von 29 k

Genial einfach. Oder einfach genial.

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r^k cos(kx) ist der Realteil von z^k mit z=x+iy.
Geht es damit vorwärts?

Avatar von 55 k 🚀

Ich denke schön danke für die Idee :)

@abakus: prima Idee !

Danke. Es war aber ein Schuss aus der Hüfte. Ich hatte/habe keine Ahnung, ob das Gesehene wirklich weiterhilft.

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