Zeigen Sie, dass C=v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3}, v_{3}+v_{1} eine Basis von V ist.

Question

Gegeben sei der \( \mathbb{K} \)-Vektorraum \( V \) mit Basis \( B=v_{1}, v_{2}, v_{3} \) und die identische Abbildung \( I: V \rightarrow V, v \mapsto v \).
(a) Zeigen Sie, dass \( C=v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3}, v_{3}+v_{1} \) eine Basis von \( V \) ist.

(b) Bestimmen Sie
i) \( \mathcal{M}(I, B, B) \)
iii) \( \mathcal{M}(I, C, B) \)
ii) \( \mathcal{M}(I, B, C) \)
iv) \( \mathcal{M}(I, C, C) \)

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Ich bräuchte auch ein wenig Hilfe bei Aufgabe b). Ich komme einfach nicht drauf, wie ich die Matrix abbilden kann.

Answer 1

a) V hat eine gegebene Basis mit 3 Elementen.

==>  dim = 3

==>  je 3 lin. unabh. Vektoren bilden eine Basis.

\( v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3}, v_{3}+v_{1} \) sind lin. unabh. denn:

\( a(v_{1}+v_{2})+b(v_{2}+v_{3})+c(v_{3}+v_{1}) = \vec{0} \)

==>  \( (a+c)v_{1}+(a+b)v_{2}+(b+c)v_{3} = \vec{0} \)

Da \( v_{1},v_{2}, v_{3} \) lin. unabh.

==>   a+c=0  und a+b=0  und b+c = 0

==>  a=b=c=0 .

Also sind \( v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3}, v_{3}+v_{1} \)  lin. unabh.

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Vielen Dank mathef! :)

Answer 2

Zu (a):

wir haben

\(2v_1=(v_1+v_2)+(v_3+v_1)-(v_2+v_3)\)
\(2v_2=(v_1+v_2)+(v_2+v_3)-(v_3+v_1)\)
\(2v_3=(v_2+v_3)+(v_3+v_1)-(v_1+v_2)\)

Damit ist

\(Span(v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_1)=Span(2v_1,2v_2,2v_3)=Span(v_1,v_2,v_3)\),

q.e.d.

Dabei ist \(2\neq 0\) vorausgesetzt.

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Danke Ermanus! :) Weiß jemand, was das "M" bei Aufgabe b) bedeutet bzw. wie die Aufgabenart genannt wird, damit ich mich auf YouTube und Co. schlau machen kann? Sorry für die bescheuerte Frage - bin gerade maximal verwirrt bei b).

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Ist f eine lineare Abbildung V->V und B,C zwei Basen von V,

so bedeutet M(f,B,C) die darstellende Matrix von f bzgl. der

Basen B und C. Zum Thema "darstellende Matrix" findest du

sicher einen ganzen Haufen Videos ...

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Super, dankeschön!

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@SendHelpPlease, hast du schon einen Ansatz zu b) ?

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@helpmeplease21 Leider nicht... :/ Habe mir einige Videos angeguckt, die mir aber bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiterhelfen.