Zeigen Sie, dass \phi(v_{1}), \ldots, \phi(v_{n}) eine Basis von W ist.

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{F} \)-Vektorraum mit Basis \( v_{1}, \ldots, v_{n} \).

(a) Sei \( \phi \in \mathcal{L}(V, W) \) bijektiv. Zeigen Sie, dass \( \phi\left(v_{1}\right), \ldots, \phi\left(v_{n}\right) \) eine Basis von \( W \) ist.

(b) Sei \( V \) ein endlich-dimensionaler \( \mathbb{F} \)-Vektorraum mit \( \operatorname{dim}(V)>1 . \) Zeigen Sie, dass die Menge der nicht invertierbaren linearen Abbildungen aus \( \mathcal{L}(V, V) \) kein Unterraum von \( \mathcal{L}(V, V) \) ist.

(c) Begründen Sie, weshalb die Aussage aus Teilaufgabe (b) nicht für den Fall \( \operatorname{dim}(V)=1 \) gilt.

Answer 1

a)

Sei \( \phi \in \mathcal{L}(V, W) \) bijektiv. Also ist das ein Isomorphismus

und somit gilt dim(V) = dim(W). Also muss man nur zeigen, dass

 \( \phi\left(v_{1}\right), \ldots, \phi\left(v_{n}\right) \) linear unabhängig sind;

denn die Anzahl stimmt ja mit der Dim. überein.

Seine also \( a_1, \ldots, a_1 \) aus F mit

\( a_1\phi\left(v_{1}\right)+\ldots+ a_n \phi\left(v_{n}\right) = 0\)

Da Φ linear ist, gilt

\( \phi\left(a_1v_{1}+\ldots+ a_nv_{n}\right) = 0\)

und weil Φ bijektiv ist, gilt

\( a_1v_{1}+\ldots+ a_nv_{n} = 0\)

und wegen der lin. Unabh. der v's also

a1=...=an=0.

 ==>   \( \phi\left(v_{1}\right), \ldots, \phi\left(v_{n}\right) \) linear unabhängig.

Comments

Mega gut und verständlich erklärt! Vielen Dank mathef! :)