Urne ohne Zurücklegen, Erwartungswert

Question

Aufgabe:

In einer Urne sind 2 Grüne und 3 Schwarze Kugeln. Gezogen wird so lange, bis beide grünen Kugeln gezogen werden. E ist der Erwartungswert für die Anzahl der Züge.

Problem/Ansatz:

Ich hatte vor ein Baumdiagramm zu zeichnen, das wird dann aber schnell unübersichtlich und groß. Ich hatte auch die Idee mir zu überlegen welche möglichen Ausgänge es gibt, allerdings ist das bei 2 Kugeln auch schnell unübersichtlich (mit einer Kugel ist es sehr leicht.). Ich erinnere mich sowas einmal im Abitur gehabt zu haben, habe aber den Ansatz nicht mehr im Kopf.

Answer 1

das wird dann aber schnell unübersichtlich und groß.

Das ist nicht wahr. 32 Pfade sind nicht viel, außerdem brauchst du weniger.

Der Pfad grün-grün liefert bereits das Ergebnis und muss nicht weiter in 8 Verästelungen fortsesetzt werden.

Der Pfad grün-schwarz kann fortgesetzt werden zu grün-schwarz-grün (da wäre er hier schon zu Ende)

oder er wird fortgesetzt zu grün-schwarz-schwarz, wovon dannn eine der möglichen Fortsetzungen auch schon endet.

Also: Mache das Baumdiagramm!

Brich jeden Pfad ab, sobald er zweimal grün enthält!

Answer 2

Aloha :)

Es gibt insgesamt 10 mögliche Endzustände für das Spiel:

2 Züge: gg

3 Züge: gsg, sgg

4 Züge: gssg, sgsg, ssgg

5 Züge: gsssg, sgssg, ssgsg, sssgg

Der Erwartungswert für die Anzahl der Züge ist:$$E=2\cdot\frac{1}{10}+3\cdot\frac{2}{10}+4\cdot\frac{3}{10}+5\cdot\frac{4}{10}=4$$