Zeigen Sie, dass A die Matrix eines Isomorphismus \phi: V → W ist

Question

Es sei \(A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\0 & 1\end{array}\right)\text {. }\)

(a) Zeigen Sie, dass \( A \) die Matrix eines Isomorphismus \( \phi: V \rightarrow W \) ist, wobei \( V \) und \( W \) jeweils zweidimensionale Vektorräume über einem Körper \( \mathbb{F} \) sind.

(b) Berechnen Sie \( A^{2}, A^{3}, A^{4} \) und \( A^{5} \).

(c) Destillieren Sie aus Teilaufgabe (b) eine Vermutung über die Form der Matrix \( A^{n} \) für \( n \in \mathbb{N} \). Beweisen Sie Ihre Vermutung anschließend.

Answer 1

det(A)=1 ≠ 0 . Also lineare Abbildung zwischen gleichdimensionalen

Vektorräumen und Kern = {0}. ==> Ist ein Isomorphismus.

b) deutet auf

A^n =   1   2n
          0     1

Beweis mit vollst. Induktion. wesentlicher Schritt dabei

 \(  \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1 & 2n+2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2(n+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Comments

Nochmals vielen Dank!!! Bei a) bin ich mir noch nicht ganz sicher, aber der Rest ist dank dir wirklich verständlich geworden. :)