Bestimme Nullstellen einer Summe von trigonometrischen Funktionen und benutze die Additionstheoreme

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von

h: R → R mit h(t) = 6·cos^2(t) + 3·sin(t) - 6

falls es solche gibt.

b) Zeigen Sie: Jede Funktion der Form

\( u ( t ) = a \cdot \sin ( \omega t ) + b \cdot \cos ( \omega t ) \) lässt sich in der Form

\( u ( t ) = A \cdot \sin ( \omega t + \varphi ) \) mit \( A > 0 \) darstellen.

Hinweis: Additionstheorem benutzen und vergleichen.

Geben Sie Formeln zur Berechnung von A > 0 und φ an.

Comments

Ein Hinweis zu a)

Da bereits in jeder Winkelfunktion das gleiche Argument x auftritt, musst du jetzt dafür sorgen, dass du nur noch eine Winkelfunktion hast.

Zu diesem Zweck kannst du den Pythagoras benutzen und daher cos² x durch 1 - sin² x ersetzen.

Danach hast du eine quadratische Gleichung für u = sin x

und kannst ähnlich vorgehen wie im Verlauf der Lösung bei:

https://www.mathelounge.de/6663/nullstelle-der-trigonometrischen-funktion-f-x-1-cos-x-x-sin-x

Zum Schluss benutzt du noch die Periodizität der trigonometrischen Funktionen und addierst zu jedem Ergebnis zwischen 0 und 2 Pi noch 2 kPi.

Also z.B. x₂ = 0.5 Pi + 2 k Pi, k Element IN

…

Answer 1

Aufgabe a:

6*cos(t)^2 + 3*sin(t) - 6 = 0
cos(t)^2 = 1- sin(t)^2

6*(1- sin(t)^2) + 3*sin(t) - 6 = 0
6 - 6*sin(t)^2 + 3*sin(t) - 6 = 0
-6*sin(t)^2 + 3*sin(t) = 0

z = sin(t)

-6*z^2 + 3*z = 0
z*(-6*z + 3) = 0

z = 0
t1 = 0,
t2 = pi
t3 = 2pi

z = 1/2
t4 = 1/6 pi
t5 = 5/6 pi

Aufgabe b:

u(t) = A * sin(wt + p)
u(t) = A * (sin wt * cos p + cos wt * sin p)
u(t) = A * cos p * sin wt + A * sin p * cos wt

a = A * cos p
A = a/cos p

b = A * sin p
b = a/cos p * sin p

tan p = b/a
p = arctan(b/a)

A = √(a^2 + b^2)