Bestimme Basen von drei Vektorräumen: zwei von R^3 und eine von einer Teilmenge von C^3

Question

kann mir jemanden bei Basen von Vektorräumen helfen? wie löse ich das folgende Beispiel?

 

a) Konstruiere eine Basis von {(z₁,z₂,z₃) ∈ℂ³: z₁+2iz₂-z₃=0} mit der Standardaddition und Skalarmultiplikation als Vektorraum über ℂ und anschließend als Vektorraum über ℝ.

 

b) Welchen Standardbasisvektor kann man zu v₁, v₂ hinzufügen, um eine Basis des ℝ³ zu erhalten? 1.) v₁=(-1,2,3), v₂=(1,-2,-2), 2.) v₁=(1,-1,0), v₂=(3,1,-2)

 

wenn Möglich bitte mit Erklärung,

Answer 1

Antwort zu b)

B) Eine Basis von R^3 muss 3 linear unabhängige Vektoren enthalten.

Die Determinante der 3 Vektoren darf nicht 0 sein.

B1.) v1=(-1,2,3), v2=(1,-2,-2),

       -1     2      3     -1   2

(      1     -2      -2)   1    -2                  Det         davon          -4 + 6≠0             e₁ geht

       1      0       0      1    0

 

       -1     2      3     -1   2

(      1     -2      -2)   1    -2                  Det         davon          3-2≠0                    e₂ geht

       0      1       0      0     1    

 

        -1     2      3     -1   2

(      1     -2      -2)   1    -2                  Det         davon           2-2=0         e₃ geht nicht

        0       0      1    0      0

 

mögliche Basen sind also:

v1=(-1,2,3), v2=(1,-2,-2),e1(1,0,0)

und

v1=(-1,2,3), v2=(1,-2,-2),e2((0,1,0)

 

Bei B2. Kannst du genau so vorgehen.

B2.) v1=(1,-1,0), v2=(3,1,-2)

 

A) Kann vielleicht jemand anders