FInde Basen zu gegebenen Vektoren mit Ergänzung

Question

Aufgabe:

$a_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) a_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) a_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$

a) Sind diese Vektoren linear unabhängig?

b) Finde Basen für $< a_{1}, a^{2}, a_{3} > \mathbb{R}^{4}$

c) ergänze diese zu Basen für $\mathbb{R}^{4}$

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe hab ich herausgefunden, dass die 3 Vektoren linear abhängig sind.

Answer 1

Aloha :)

Rechne die linearen Abhängigkeiten soweit wie möglich aus den 3 Vektoren heraus, indem du sie durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform bringst:

$$\begin{array}{rrr}&-S_1&\\\hline1 & 1 & 0\\1 & 2 & 1\\1 & -1 & 1\\2 & 1 & 2\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr}-S_2 & &-S_2\\\hline1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\\1 & -2 & 1\\2 & -1 & 2\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr}-S_3 & +S_3 &\colon3\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\3 & -2 & 3\\3 & -1 & 3\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrr}& -S_3 &\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 2 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}$$

zu a) Wir haben keine Nullspalte erhalten, daher sind die 3 Vektoren linear unabhängig.

zu b) die angegebenen Vektoren $\left<\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\right>$ bilden bereits eine Basis. Eine andere Basis bilden die Vektoren $\left<\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3\right>$, die wir nach der Umformung erhalten haben.

zu c) Betrachten wir die Vektoren $\left<\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3\right>$ fällt auf, dass wir die $x_4$-Komponente nicht unabhängig variieren können. Ergänzen wir den Vektor $b_4\coloneqq(0,0,0,1)^T$ können wir alle linearen Abhängigkeiten soweit rausrechnen, dass wir die Standard-Basis des $\mathbb R^4$ erhalten:

$$\begin{array}{rrrr} & -S_4 & -S_4 &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 & \vec e_4\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}$$