Aloha :)
Rechne die linearen Abhängigkeiten soweit wie möglich aus den 3 Vektoren heraus, indem du sie durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform bringst:
1112−S112−110112→−S2111201−2−1−S20112→−S31033+S301−2−1 : 30033→1000−S301120011→b11000b20101b30011
zu a) Wir haben keine Nullspalte erhalten, daher sind die 3 Vektoren linear unabhängig.
zu b) die angegebenen Vektoren ⟨a1,a2,a3⟩ bilden bereits eine Basis. Eine andere Basis bilden die Vektoren ⟨b1,b2,b3⟩, die wir nach der Umformung erhalten haben.
zu c) Betrachten wir die Vektoren ⟨b1,b2,b3⟩ fällt auf, dass wir die x4-Komponente nicht unabhängig variieren können. Ergänzen wir den Vektor b4 : =(0,0,0,1)T können wir alle linearen Abhängigkeiten soweit rausrechnen, dass wir die Standard-Basis des R4 erhalten:
1000−S40101−S400110001→e11000e20100e30010e40001