Aloha :)
Rechne die linearen Abhängigkeiten soweit wie möglich aus den 3 Vektoren heraus, indem du sie durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform bringst:
$$\begin{array}{rrr}&-S_1&\\\hline1 & 1 & 0\\1 & 2 & 1\\1 & -1 & 1\\2 & 1 & 2\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr}-S_2 & &-S_2\\\hline1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\\1 & -2 & 1\\2 & -1 & 2\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr}-S_3 & +S_3 &\colon3\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\3 & -2 & 3\\3 & -1 & 3\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrr}& -S_3 &\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 2 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}$$
zu a) Wir haben keine Nullspalte erhalten, daher sind die 3 Vektoren linear unabhängig.
zu b) die angegebenen Vektoren \(\left<\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\right>\) bilden bereits eine Basis. Eine andere Basis bilden die Vektoren \(\left<\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3\right>\), die wir nach der Umformung erhalten haben.
zu c) Betrachten wir die Vektoren \(\left<\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3\right>\) fällt auf, dass wir die \(x_4\)-Komponente nicht unabhängig variieren können. Ergänzen wir den Vektor \(b_4\coloneqq(0,0,0,1)^T\) können wir alle linearen Abhängigkeiten soweit rausrechnen, dass wir die Standard-Basis des \(\mathbb R^4\) erhalten:
$$\begin{array}{rrrr} & -S_4 & -S_4 &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 & \vec e_4\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}$$
