Stetige Ergänzung von Termen und Polynomdivision

Question

Aufgabenstellung:

Text erkannt:

Aufgabe 2 (Stetige Ergänzung)
Entscheiden Sie, ob die jeweils definierte Funktion \( f \) im Punkt \( x_{0} \) stetig ergängt werden anderen Worten, bestimmen Sie, ob der Grenzwert lim \( f_{3} f(x) \)-xistiert, und falls ja, berechnen Sie ihn:
(i) \( f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x^{4}-1}{(x-1)^{3}}, \quad x_{0}=1 \),
(ii) \( f:(-\infty, 1) \backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}, \quad x_{0}=-1 \),
(iii) \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{1+\exp \left(\frac{1}{x}\right)}, \quad x_{0}=0 . \)
Hinweis: Bei (i) und (ii) kann Polynomdivision nützlich sein.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist Gerade die Polynomdivision von den Termen

Answer 1

hallo

bei i musst du nur die 3, binomische Formel iim Zähler 2 mal anwenden.

in ii im Nenner und dann ur durch einen einfachen Term dividieren.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Wie im Hinweis angegeben hilft in den ersten beiden Fällen eine Polynomdivision bzw. das Kürzen:$$\frac{x^4-1}{(x-1)^3}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{(x-1)^3}=\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{(x-1)^3}=\frac{(x+1)(x^2+1)}{(x-1)^2}\stackrel{(x\to1)}{\to}\infty$$$$\frac{x^3+1}{x^2-1}=\frac{(x^2-x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2-x+1}{x-1}\stackrel{(x\to-1)}{\to}-\frac32$$

Im letzten Fall sind der links- und rechtsseitige Grenzwert der \(e\)-Funktion unterschiedlich:$$\lim\limits_{x\nearrow0}\exp\left(\frac1x\right)=\lim\limits_{y\to-\infty}e^y=0\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow0}\exp\left(\frac1x\right)=\lim\limits_{y\to+\infty}e^y=\infty$$Das heißt für unsere Funktion:$$\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{1}{1+\exp\left(\frac1x\right)}=\frac{1}{1+0}=1\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow0}\frac{1}{1+\exp\left(\frac1x\right)}=\frac{1}{1+\infty}=0$$Zwar exisitieren der links- und der rechtsseitige Grenzwert, sind aber unterschiedlich, sodass "ein" Grenzwert für \(x\to0\) nicht existiert.