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Aufgabe:

Geben Sie den Defintionsbereich der Funktion f(x) = (1-cos(x))/x an. Berechnen Sie den Grenzwert an der Definitionslücke. Geben Sie wenn möglich die stetige Ergänzung an. Gibt es keine, schreiben Sie das auf!


Als Defintionsbereich habe ich bestimmt:

Alle x-Werte -1 bis 1 außer 0

D = [1,-1] \ {0}


Nullstelle Zähler: x = 0 und 2 * Pi

Nullstelle Nenner(Lücke): x = 0


Grenzwert an der Definitionslücke:

lim x -> 0  (1-cos(0))/0 = 0/0


L‘Hospital

lim x-> 0 sin(0) = 0

Grenzwert an der Defintionslücke x=0


So jetzt zu meinem Problem: Bis jetzt hatten wir nur Aufgaben wie zum Beispiel: Geben Sie die stetige Ergänzung an der Stelle xyz an.

Nun hab ich ja gar nicht gegeben. Bzw. muss ich jetzt x=0 einsetzen?

Weiterrechnen würde ich:

f* = (x-0)(x-2*Pi)/(x-0) = x - (2 * Pi)

Was muss ich nun für x einsetzen um die Ergänzung zu erhalten (vorausgesetzt das vorherige ist richtig berechnet!)?

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3 Antworten

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Die stetige Ergänzung liefert der Zusatz zur Funktionsgleichung f(0)=0.

Avatar von 123 k 🚀

Okay danke!

Also verwende ich immer den Wert für x, welchen ich durch den limes berechnet habe?

Eine Funktion ist nur dann stetig ergänzbar, wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert an der Definitionslücke übereinstimmen.

Hallo Roland,

Frage zu Grenzwerte
kannst du mir den Gefallen tun und
lim x−> 0 (-) [ (1- cos(x) ) / x ] =
und
lim x−> 0 (+) [ (1- cos(x) ) / x ] =
einmal vorführen.

Oder genügt es nach L Hospital anzuführen
[ 1- cos(x) ] ´ / x ´
sin(x) / 1
sin(x)

lim x−> 0 (-) [ sin(x)  ] = 0(-)
und
lim x−> 0 (+) [ sin(x) ] = 0(+)

mfg Georg

Hallo Georg,

die meisten Grenzwerte bestimme ich mit Hilfe von Compter-Algebra.

0 Daumen

f ( x ) = [ 1- cos(x) ] / x

Wieso schränkst du den Def-Bereich auf -1..1 ein ?

gm-30.JPG
Definitionslücke bei x = 0 ( Division durch 0 )
Definitionbereich
D = ℝ \ { 0 }

0 / 0
L´Hospitlal
[ 1- cos(x) ] ´ / x ´
sin(x) / 1
sin ( 0 ) / 1
0

f ( x ) = { [ 1- cos(x) ] / x für x ≠ 0
            { 0 für x = 0

Soviel zunächst.

mfg

Avatar von 123 k 🚀

Dankeschön

Jaa stimmt, bei dem Definitionsbereich hab ich mich vertan!

Der Wertebereich liegt bei -1 bis 1 und nicht der Definitionsbereich!

Leider auch falsch.
Es handelt sich um so eine Art gedämpfte
Schwingung.
Der Funktionswert wird kleiner da durch x
( x gegen ± ∞ ) geteilt wird.
Das Maximum oder Minimum liegt bei ca ± 0.7
( siehe Skizze )

x Stelle des Maximums ausrechnen und dann
den Funktionswert ausrechnen

Lösung mit Newton
x = 2.3311
x = -2.3311

0 Daumen
Berechnen Sie den Grenzwert an der Definitionslücke.

Da Zähler und Nenner an der Stelle \(x=0\) verschwinden und \(f\) in \(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} \) differenzierbar ist, gilt nach der Regel von de l’Hospital:

$$\lim\limits_{\:\:\:x \to 0} \dfrac{1-\cos(x)}{x} = \lim\limits_{\:\:\:x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{1}=0$$

Es muss also \(f\) zu $$f^*(x) = \begin{cases} f(x), &\text{falls } x\ne 0\\0, &\text{falls } x=0 \end{cases}$$ ergänzt werden.


So jetzt zu meinem Problem!
Bis jetzt hatten wir nur Aufgaben wie zum Beispiel:
Geben Sie die stetige Ergänzung an der Stelle xyz an!
Nun hab ich ja [xyz] gar nicht gegeben. Bzw. muss ich jetzt x=0 einsetzen?

So ist es.

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