Stetige Ergänzung bestimmen

Question

Aufgabe:

Geben Sie den Defintionsbereich der Funktion f(x) = (1-cos(x))/x an. Berechnen Sie den Grenzwert an der Definitionslücke. Geben Sie wenn möglich die stetige Ergänzung an. Gibt es keine, schreiben Sie das auf!

Als Defintionsbereich habe ich bestimmt:

Alle x-Werte -1 bis 1 außer 0

D = [1,-1] \ {0}

Nullstelle Zähler: x = 0 und 2 * Pi

Nullstelle Nenner(Lücke): x = 0

Grenzwert an der Definitionslücke:

lim x -> 0  (1-cos(0))/0 = 0/0

L‘Hospital

lim x-> 0 sin(0) = 0

Grenzwert an der Defintionslücke x=0

So jetzt zu meinem Problem: Bis jetzt hatten wir nur Aufgaben wie zum Beispiel: Geben Sie die stetige Ergänzung an der Stelle xyz an.

Nun hab ich ja gar nicht gegeben. Bzw. muss ich jetzt x=0 einsetzen?

Weiterrechnen würde ich:

f* = (x-0)(x-2*Pi)/(x-0) = x - (2 * Pi)

Was muss ich nun für x einsetzen um die Ergänzung zu erhalten (vorausgesetzt das vorherige ist richtig berechnet!)?

Answer 1

Die stetige Ergänzung liefert der Zusatz zur Funktionsgleichung f(0)=0.

Comments

Okay danke!

Also verwende ich immer den Wert für x, welchen ich durch den limes berechnet habe?

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Eine Funktion ist nur dann stetig ergänzbar, wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert an der Definitionslücke übereinstimmen.

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Hallo Roland,

Frage zu Grenzwerte
kannst du mir den Gefallen tun und
lim x−> 0 (-) [ (1- cos(x) ) / x ] =
und
lim x−> 0 (+) [ (1- cos(x) ) / x ] =
einmal vorführen.

Oder genügt es nach L Hospital anzuführen
[ 1- cos(x) ] ´ / x ´
sin(x) / 1
sin(x)

lim x−> 0 (-) [ sin(x)  ] = 0(-)
und
lim x−> 0 (+) [ sin(x) ] = 0(+)

mfg Georg

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Hallo Georg,

die meisten Grenzwerte bestimme ich mit Hilfe von Compter-Algebra.

Answer 2

f ( x ) = [ 1- cos(x) ] / x

Wieso schränkst du den Def-Bereich auf -1..1 ein ?

Definitionslücke bei x = 0 ( Division durch 0 )
Definitionbereich
D = ℝ \ { 0 }

0 / 0
L´Hospitlal
[ 1- cos(x) ] ´ / x ´
sin(x) / 1
sin ( 0 ) / 1
0

f ( x ) = { [ 1- cos(x) ] / x für x ≠ 0
            { 0 für x = 0

Soviel zunächst.

mfg

Comments

Dankeschön

Jaa stimmt, bei dem Definitionsbereich hab ich mich vertan!

Der Wertebereich liegt bei -1 bis 1 und nicht der Definitionsbereich!

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Leider auch falsch.
Es handelt sich um so eine Art gedämpfte
Schwingung.
Der Funktionswert wird kleiner da durch x
( x gegen ± ∞ ) geteilt wird.
Das Maximum oder Minimum liegt bei ca ± 0.7
( siehe Skizze )

x Stelle des Maximums ausrechnen und dann
den Funktionswert ausrechnen

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Lösung mit Newton
x = 2.3311
x = -2.3311

Answer 3

Berechnen Sie den Grenzwert an der Definitionslücke.

Da Zähler und Nenner an der Stelle \(x=0\) verschwinden und \(f\) in \(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} \) differenzierbar ist, gilt nach der Regel von de l’Hospital:

$$\lim\limits_{\:\:\:x \to 0} \dfrac{1-\cos(x)}{x} = \lim\limits_{\:\:\:x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{1}=0$$

Es muss also \(f\) zu $$f^*(x) = \begin{cases} f(x), &\text{falls } x\ne 0\\0, &\text{falls } x=0 \end{cases}$$ ergänzt werden.

So jetzt zu meinem Problem!
Bis jetzt hatten wir nur Aufgaben wie zum Beispiel:
Geben Sie die stetige Ergänzung an der Stelle xyz an!
Nun hab ich ja [xyz] gar nicht gegeben. Bzw. muss ich jetzt x=0 einsetzen?

So ist es.