Nullstellen trigonometrischer Funktionen bestimmen und Graphen zeichnen

Question

Aufgabe:

a) Berechnen Sie alle Lösungen x ∈ [0, 2π] von 2·sin^2(x) + 3·cos(x) = 3.

b) Zeigen Sie (durch Anwendung der Additionstheoreme für sin bzw. cos) das Additionstheorem

$$ \tan \left( \mathrm { x } _ { 1 } - \mathrm { x } _ { 2 } \right) = \frac { \tan \left( \mathrm { x } _ { 1 } \right) - \tan \left( \mathrm { x } _ { 2 } \right) } { 1 + \tan \left( \mathrm { x } _ { 1 } \right) \cdot \tan \left( \mathrm { x } _ { 2 } \right) } $$

für die Tangens-Funktion.

c) Skizzieren Sie qualitativ korrekt den Graphen von \( f ( x ) = \cos \left( 2 \cdot x + \frac { \pi } { 2 } \right) \) und von \( g ( x ) = - \sin ( 2 \cdot x ) \). Was stellen Sie fest?

Answer 1

Aufgabe a:

2·sin(x)^2 + 3·cos(x) = 3
2·(1 - cos(x)^2) + 3·cos(x) = 3
2 - 2·cos(x)^2 + 3·cos(x) = 3
-2·cos(x)^2 + 3·cos(x) - 1 = 0

z = cos(x)

-2·z^2 + 3·z - 1 = 0

Über abc-Lösungsformel erhalten wir die Lösungen:  z = 1/2 ∨ z = 1

x = acos(1/2)
x₁ = 1/3 pi
x₂ = 5/3 pi

x = acos(1)
x₃ = 0
x₄ = 2 pi

Aufgabe b:

Ich schreibe mal hier a = x1 und b = x2

Zunächst kümmere ich mich um die linke Seite der Gleichung:

tan(a - b) 
= sin(a - b) / cos(a - b) 
= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b + sin a * sin b)

Jetzt kümmere ich mich mal zunächst um die rechte Seite der Gleichung:

(tan a - tan b) / (1 + tan a * tan b)
= (sin a / cos a - sin b / cos b) / (1 + sin a / cos a * sin b / cos b)
= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b) / (1 + sin a * sin b / (cos a * cos b))
= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b) / ((cos a * cos b + sin a * sin b) / (cos a * cos b))

Ich teile durch einen Bruch, indem ich mit dem Kehrbruch multipliziere:

= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b) * (cos a * cos b) / (cos a * cos b + sin a * sin b)
= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b + sin a * sin b)

Da die rechte und die linke Seite jetzt identisch sind habe ich gezeigt das das Additionstheorem für die tan-Funktion gilt.

Aufgabe c:

Die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) sind identisch.

cos(2x + pi/2) = -sin(2x)