Anfangswertprobleme und Polarkoordinaten?

Question

Hi, wie löst man solche Aufgaben?

Anfangswertprobleme lösen:

1) y´= y² − 2y ,    y(0) = 1

2) u²u´ + x² = 1  ,     u(1) = 2.

3) y´=\( \frac{y}{x} \)² + \( \frac{y}{x} \)   ,   y(1) = \( \frac{1}{3} \)

4) y´ = \( \frac{x+y}{x-y} \)  ,   y(1) = 1  (Hierbei die Lösung auch in Form r = f(φ) mit Polarkoordinaten angeben)

Danke schonmal.

Answer 1

Hallo,

1) Trennung der Variablen

2) Trennung der Variablen

3) Substitution : z=y/x ---->Lösung für den Fall, das die Aufgabe so lautet.

4) Substitution : z=y/x

Zum Schluss die AWB in die Lösung einsetzen.

Für jedes Verfahren 1 Beispiel:

2)

\( \begin{array}{l} u^{2} u^{\prime}+x^{2}=1 ; \quad u(1)=2 \quad \begin{array}{l} \text { Trennung } \\ \text { der Variablen } \end{array} \\ u^{2} u^{\prime}=1-x^{2} \\ u^{2} \frac{d u}{d x}=1-x^{2} \quad |* d x \\ \int u^{2} d u=\int\left(1-x^{2}\right) d x \\ \frac{u^{3}}{3}=x-\frac{x^{3}}{3}+c \mid* 3 \\ u^{3}=3 x-x^{3}+3 c \\ u=\sqrt[3]{3 x-x^{3}+3 c} \end{array} \)
AWB \( u(1)=2 \) in die Lösung einsetzen:
\( \begin{aligned} 2 &=\sqrt[3]{3-1+3 c} \\ 2 &=\sqrt[3]{2+3 c}\left|(..)^{3}\right.\\ 8 &=2+3 c \quad |-2 \\ 6 &=3 c \Rightarrow c=2 \\ \Rightarrow &=\sqrt[3]{3 x-x^{3}+6} \end{aligned} \)