Zeigen Sie, dass die Summe der Polynome divergiert.

Question

Aufgabe:

Seien \( P, Q \) reelle Polynome mit \( m:=\operatorname{deg} Q=\operatorname{deg} P+1 \), und für \( n \in \mathbf{N}_{0} \) sei \( Q(n) \neq 0 \). Zeigen Sie, dass \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} \) divergiert.

Problem/Ansatz:

Das Problem bei der Aufgabe ist ja relativ einfach zu verstehen, sprich, dass die Summe von einem Polynom dividiert mit einem Polynom eines höheren Grades divergiert. Ein einfaches Beispiel hierfür wäre auch die harmonische Reihe.

Jedoch habe ich leider keinen wirklich schriftlichen Ansatz hierhür.

Comments

Klammer Die Leitkoeffizienten aus. Der verbleibende Bruch ist dann asymptotisch äquivalent zu 1/n.

Die Reihe zeigt also gleiches Konvergenzverhalten wie die harmonische Reihe.

Vergleiche

https://math.stackexchange.com/questions/1963387/criteria-for-convergence-of-series-in-terms-of-asymptotic-equivalence-of-general