Aufgaben zu den Binomischen Formeln

Question

Aufgabe:

Hallo! Ich habe hier zwei Aufgaben mit jeweils deren Lösungen:

1)   5 (a - b)³ + 3 (b - a)³

Lösung: 2 (a - b)³

2)   5 (a - b)^4 + 3 (b - a)^4

Lösung: 8 (a - b)^4

Problem/Ansatz:

Wie kann es sein, das es bei der ersten Lösung eine 2 vorne steht und bei der zweiten eine 8? Ich verstehe nicht wie man mit den Aufgaben vorgegangen ist.

Würde mich auf Antworten freuen! Vielen Dank

Comments

Verwende:

+3(b-a)^3 = -3(a-b)^3

3(b-a)^4 = 3(a-b)^4

Tipp:

Substituiere ; (a-b) = z

PS:

(b-a)^3 = [(-1)(a-b)]^3 = (-1)^3*(a-b)^3 = -(a-b)^3

Answer 1

Hallo,

(b-a)= (-1)(a-b)

(b-a)³=(-1)³ (a-b)³=-(a-b)³

(b-a)^4=(-1)^4 (a-b)^4 = +(a-b)^4

Also:

5 (a - b)³ + 3 (b - a)³

=5 (a - b)³ - 3 (a - b)³

=2(a-b)³

Answer 2

Müsste bei beiden eine 8 stehen, wenn ich mich nicht irre

Comments

Du irrst ;-) \(\;\;\;\;\)

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Ich irre nicht nur, ich kann auch nicht lesen. Das ist aber fies und genauso gewollt ;D

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Tja, Aufgabensteller können so gemein sein ;-)

Answer 3

Aloha :)

In der hinteren Klammer wurde eine \((-1)\) ausgeklammert.

$$5(a-b)^3+3(b-a)^3=5(a-b)^3+3((-1)(a-b))^3=5(a-b)^3+3\underbrace{(-1)^3}_{=-1}(a-b)^3$$$$\qquad=5(a-b)^3-3(a-b)^3=2(a-b)^3$$$$5(a-b)^4+3(b-a)^4=5(a-b)^4+4((-1)(a-b))^4=5(a-b)^4+3\underbrace{(-1)^4}_{=+1}(a-b)^4$$$$\qquad=5(a-b)^4+3(a-b)^4=8(a-b)^3$$