Bestimmen Sie Extrema von Polynomfunktion 5. Grades

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema der Funktion

Problem/Ansatz:

f :(−∞,2]→R, x→(x−1)^3·(x+1)^2

Comments

Und was ist Dein Problem dabei?

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Wie soll man das rechnen?

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Extremstellen findet man üblicherweise, indem man die erste Ableitung gleich null setzt.

Answer 1

~plot~ (x-1)^3*(x+1)^2; x = -1; x=-0.2; x=1 ~plot~

Die sog. Vielfachheit der Nullstellen (z.B. Extremalstelle oder Wendepunkt) kannst du direkt in den Graphen übertragen.

Dazu brauchst du noch nichts abzuleiten.

Falls du dann doch nach ableiten möchtest, empfehle ich die Produktregel und dann das Resultat als Produkt von Klammern hinzuschreiben.

Comments

Ist das ganze antwort?

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"Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema der Funktion" .

"Ist das ganze antwort?"

Nicht ganz. Die Argumentation solltest du selbständig weiter ausbauen.

Du hast es mit einem Polynom 5. Grades zu tun. Daher ist das globale Maximum unendlich und das globale Minimum "minus unendlich". Da der Koeffizient von x^5 positiv ist, verläuft der Graph der Funktion von "links unten nach rechts oben" (mit ein paar "Böglein")

Aus dem, was ich zu den Vielfachheiten der Nullstellen erklärt habe, lässt sich ein lokales Maximum y=0 an der Stelle x= -1 ohne weitere Rechnung ablesen.

Das lokale Minimum musst du aber noch ausrechnen (Ableitung Null setzen, wenn du die Extremalstelle nicht "siehst". Dann diese Extremalstelle noch in die Polynomgleichung einsetzen. Probier das mal und zeig deine Rechnung.

Ähnlicher Fall wie hier https://www.mathelounge.de/788365/extrema-polynomfunktion-5-grades-mit-klammern#a788367 , wo die beiden Antworten ohne das Auflösen der Klammern die Extremalstellen schneller finden lassen (von Hand)).