Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mithilfe von Potenzreihen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mithilfe von Potenzreihen:

1 -) lim _x→0  (e^x - sin(x) - 1) / x²

2 -) lim _x→0    (x.sin(x)) / cos(x) -1

Problem/Ansatz: die folgenden Grenzwerte mithilfe von Potenzreihen bestimmen.

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Vom Duplikat:

Titel: Grenzwerte mit Hilfe von Potenzreihen herausfinden

Stichworte: potenzreihe,grenzwert,limes

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mithilfe von Potenzreihen:

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\sin (x)-1}{x^{2}} \),

(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin (x)}{\cos (x)-1} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz, wie man das mit der Potenzreihe machen soll. Vielleicht könnt ihr mir da weiter helfen

Answer 1

1)

ex = 1 + x + \( \frac{x^{2}}{2!} \)+ \( \frac{x^{3}}{3!} \) + \( \frac{x^{4}}{4!} \) + ....

sin x = x - \( \frac{x^{3}}{3!} \)+ \( \frac{x^{5}}{5!} \) - ...

Zähler = 1 + x + \( \frac{x^{2}}{2} \)+ \( \frac{x^{3}}{3!} \) + \( \frac{x^{4}}{4!} \) + ... - ( x - \( \frac{x^{3}}{3!} \)+ \( \frac{x^{5}}{5!} \) - ...)  -1 = \( \frac{x^{2}}{2} \) + 2\( \frac{x^{3}}{3!} \) + \( \frac{x^{4}}{4!} \) + ...

\( \frac{Zähler}{x^{2}} \) = 1/2 + 2 \( \frac{x^{1}}{3!} \) + ...     geht gegen 1/2

2)

x sin x = x² - \( \frac{x^{4}}{3!} \)+ \( \frac{x^{6}}{5!} \) - ...

cos(x) -1 = - \( \frac{x^{2}}{2!} \)+ \( \frac{x^{4}}{4!} \) - ...

Kürze mit x²:

Bruch = \( \frac{1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}...}{-\frac{1}{2!}+\frac{x^{2}}{4!}...} \)      geht gegen -2

Comments

Jetzt verstehe ich alles, vielen Dank.

Answer 2

Hallo

warum schreibst du nicht erst mal die Potenzreihe von e^x, sin(x), cos(x) hin

und dann den Ausdruck? die ersten paar Glieder zeigen dir schon was rauskommt

Sonst sag genauer wo du scheiterst,

(fehlt in b) nicht ne Klammer?)

lul

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Hallo Lul,

Ich habe versucht, die Frage so zu lösen, kam aber leider zu keinem Ergebnis :( Und ja, in b habe ich den Nenner nicht in Klammern gesetzt, das kann zu Verwirrung geführt haben.

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Hallo

dann schreibe mal die Reihen, bzw Zähler und Nenner auf denn deine Aussage verstehe ich nicht.

lul

Answer 3

a)

\( \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x^{2}}{24}+\frac{x^{4}}{720}+\frac{x^{5}}{2520} \, ... = \frac{1}{2}\)

Comments

Danke für die Antwort aber ich verstehe das nicht... Bitte einmal für Blödis erklären ^^

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Und ich verstehe nicht, was es ist das Du nicht verstehst.

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Ok, was hast du gemacht und wie kommst du auf diese Lösung?

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Ich habe die Potenzreihe hingeschrieben und gemerkt, dass alle Summanden ab dem zweiten gleich null werden.

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Also die Potenzreihe jedes einzelnen Wert hinschreiben? Würde es dir was ausmachen, das etwas ausführlicher zu erklären? Ich bin da gerade echt verwirrt,

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Die Potenzreihe des in der Aufgabenstellung gegebenen Terms, für x = 0.

Jeden "einzelnen Wert hinschreiben" dürfte schwierig werden, denn die Reihe ist unendlich. Darum die drei Punkte.