$$\frac{-1 + cos(x)}{x^2}=\frac{-1+\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}}}{x^2}=\frac{\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}}}{x^2}$$
$$=(-1)\frac{\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}}{x^2}=(-1)\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^{2(n-1)}}{(2n)!}}$$
Hier muss man wohl irgendwie versuchen auf
$$=-1\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^{2(n-1)}}{(2(n-1))!}}$$
zu kommen. Vielleicht eine zweite Reihe über Cauchy-Produkt oder so ???
Denn es ist ja nach Indexverschiebung
$$=-1\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^{2(n-1)}}{(2(n-1))!}}=-\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}=-1cos(x)$$
und das hat den Grenzwert -1 .
Die gegebene Reihe hat aber Grenzwert $$ \frac{-1}{2}$$
Also scheint dann noch was drinzustecken mit Grenzwert 1/2.
Fällt mir so spontan aber nix ein.
