Schnittpunkte zwischen Geraden und Ebenen

Question

Aufgabe:

Guten Tag, wie gehe ich bei der folgenden Aufgabe vor?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Ergänze die fehlenden Vektorkoordinaten in der Geraden- und Ebenengleichung, so dass die Gerade die Ebene nur im Punkt \( S(0|0| 2) \) schneidet.
A
Die Gerade \( g \) und Ebene \( E \) mit
schneiden sich in Punkt S.

Answer 1

Warum kann man den Ortsvektor von S direkt als Stützvektor der Geraden g nehmen?

Der Richtungsvektor der Geraden darf sich nicht als Linearkombination der Spannvektoren der Ebene ergeben. Allerdings muss auch S auf der Ebene liegen. Warum kann ich daher als zweiten Spannvektor einfach [-1, -2, -2] nehmen?

Comments

Woher kommen die (-1/-2/-2)? Mir word bei der Aufgabenstellung als Tipp angezeigt, ich soll zunächst t oder r oder s mit Hilfe der Vektorgleichung g=E berechnen und dann den Ortsvektor für den Schnittpunkt S bestimmen, indem ich t oder r oder s in die jeweilige Gleichung einsetze. Ich weiß jedoch nicht wie...

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Der Tipp ist auch für den Arsch um es salopp zu sagen.

Eine Gerade besteht aus einem Orts- und einem Richtungsvektor. Wenn du bereits weißt, dass sich die Gerade und die Ebene in S schneiden, dann muss S auf der Geraden liegen und kann daher direkt als Ortsvektor der Geraden genommen werden.

Da S auch auf der Ebene liegt und nicht auf der schon existierenden Gerade aus Orts- und Richtungsvektor liegt, braucht man noch einen zweiten Richtungsvektor zum Punkt S.

Jetzt schau dir also mal den Ortsvektor und meinen Richtungsvektor der Ebene an und versuche dann zu ergründen, warum ich genau den Vektor [-1, -2, -2] genommen habe.

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Gut jetzt habe ich es denke verstanden, vielen Dank!

Answer 2

Der geforderte Schnittpunkt muss auf der Geraden liegen. Also kannst du (0|0|2) schon mal für den Stützvektor der Geradengleichung verwenden.

Wenn (0|0|2) auch ein Punkt der Ebene sein soll, muss

1-2r+s*a=0

2-r+s*b=0

4+2r+s*c=2 gelten.

Der zu findende Vektor \( \begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix} \) ist nicht eindeutig bestimmt, weil er "länger" oder "kürzer" sein kann - Haupsache, die Richtung stimmt.

Comments

Auch bei Ihnen verstehe ich leider nichts...ich soll zunächst t oder r oder s mit Hilfe der Vektorgleichung g=E berechnen und dann den Ortsvektor für den Schnittpunkt S bestimmen, indem ich t oder r oder s in die jeweilige Gleichung einsetzen. Ich verstehe leider nur Bahnhof und würde mich freuen wenn mir das jemand erklären bzw vorrechnen könnte.

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Auch bei Ihnen verstehe ich leider nichts...

Ist auch zu umständlich. Die Lösung von Coach ist genial einfach.

Da S(0|0|2) ein Punkt der Ebene sein soll, kann man natürlich sehr konkret den Vektor vom bereits gegebenen Ebenenpunkt (1|2|4) zum Punkt S als den noch fehlenden Spannvektor der Ebene nehmen.