Beweis von $\root{3}\of{27-5\sqrt{33} \over 18} + \root{3}\of{27+5\sqrt{33} \over 18} = 1$

Question

Wie beweist man:

$$ \sqrt[3]{{27-5\sqrt{33} \over 18}} + \sqrt[3] {{27+5\sqrt{33} \over 18}} = 1 $$

d.h.

$$ \left({27-5\sqrt{33} \over 18}\right)^{1/3} + \left({27+5\sqrt{33} \over 18}\right)^{1/3} = 1 $$

Comments

für mich unlesbar!

lul

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"\root{3}\of" heißt "dritte wurzel von".

KaTeX ist scheinbar nicht in der Lage, Standard-TeX zu verstehen.

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das Teil hatte ich gerade noch verstanden. Nimm den LateX Assistenten, der Zeigt direkt was du geschrieben hast. meist fehlen {} Klammern?

aber ich kanns noch immer nicht lesen

lul

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Die alternative Schreibweise ist aber lesbar und wird richtig angezeigt.

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Und um KaTeX und LaTeX glücklich zu machen, noch eine dritte Schreibweise:

$$ \sqrt[3]{27-5\sqrt{33} \over 18} + \sqrt[3]{27+5\sqrt{33} \over 18} = 1 $$

(Ist irgend jemandem schon einmal aufgefallen, dass "sqrt" die Abkürzung von "square root" ist? Was soll also "\sqrt[3]" dann sein??)

Answer 1

Hallo,

da es falsch ist, kann es nicht bewiesen werden.

:-)

Comments

Es ist nur deswegen falsch, weil die erste Klammer (bzw. Radikand) negativ ist, und Dein Rechenprogramm nicht in der Lage ist, 3. Wurzeln reell aus negativen Zahlen zu berechnen (etwas, was heute jeder billige Taschenrecher kann), sondern ins Kompexe geht.

Du kannst das umgehen mit:

$$ - \sqrt[3]{-{27-5\sqrt{33} \over 18}} + \sqrt[3]{27+5\sqrt{33} \over 18} = 1 $$

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Aus negativen Zahlen kann man keine reelle Wurzel ziehen.

Auch wenn Taschenrechner als Kubikwurzel aus -8 das Ergebnis -2 angeben, ist es falsch.

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Ich habe es (deshalb) umgeformt. Jetzt stimmt die Gleichung (genau wie vorher auch schon).

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Auch wenn Taschenrechner als Kubikwurzel aus -8 das Ergebnis -2 angeben, ist es falsch.

Es ist nicht falsch, es ist nur nicht vollständig.

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Warum rechnest du nicht die dritte Potenz auf beiden Seiten aus ?

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Aus negativen Zahlen kann man keine reelle Wurzel ziehen.

Auch wenn Taschenrechner als Kubikwurzel aus -8 das Ergebnis -2 angeben, ist es falsch.

Kann man schon, ist nur eine Frage der Definition...

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\(\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; x\mapsto x^3\) ist bijektiv.

Die Umkehrfunktion nennt man üblicherweise \(\sqrt[3]{x}\).
Wo soll da ein Problem sein ?

Answer 2

\( \sqrt[3]{{27-5\sqrt{33} \over 18}} + \sqrt[3] {{27+5\sqrt{33} \over 18}} =: x+y=:z\)

Dann ist

\( z^3 = (x+y)^3 = x^3+y^3 + 3xy(x+y) \)

liefert

\( 0 = z^3 - 3 \sqrt[3]{\frac{27^2-5^2\cdot33}{18^2}} z - \frac{2\cdot 27}{18} = z^3 + 2z -3\)

hat NST 1 und -1/2 ± i sqrt(11)/2

Da z reell ist (Summe reeller Zahlen) muss es 1 sein.

Comments

Sehr schöne Lösung!

Man hätte auch drauf kommen können, wenn man erkannt
hätte, dass der linke Ausdruck doch sehr nach den
Lösungsformeln von Cardano für kubische Gleichungen
aussieht. Leider warst du schneller als ich ;-)

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Leider warst du schneller als ich ;-)

Leider hat er einen von mir versuchten Dialog mit dem Fragesteller   "Warum rechnest du nicht die dritte Potenz auf beiden Seiten aus ?"   (Ich hatte eine der drei möglichen Antworten "Gute Idee, bin ich nicht drauf gekommen", "Weiß nicht, wie man Summen in die dritte Potenz erhebt" , "Dieser Lösungsweg ist die Holzhammermethode, ich habe nach etwas Trickreicherem gesucht" erwartet) nicht entstehen lassen, war letzte Nacht vielleicht auch zu spät. Ich war mir auch nicht sicher, ob 2021b die Lösung nicht sogar kennt und das hier als eine Art Rätsel für das Forum eingestellt hat.