Wettrennen zwischen zwei Familien - Eingeschlossene Fläche interpretieren; Flächeninhalt der Fläche ausrechnen

Question

Wir haben im Unterricht (Mathe Grundkurs) letztens eine Aufgabe erhalten zum Thema Integralrechnung. Wir haben leider zu dem Thema so gut wie noch keinen Aufschrieb gemacht und auch keine Allgemeine Formeln zu einer Berechnung.

Ich verstehe Sachen am besten, wenn man sie mir einmal klar erklärt, weswegen ich nun um Hilfe bitte.

Die Aufgabe:

Familie Müller und Familie Nordmann unternehmen einen gemeinsamen Ausflug zu einem Draisinen-Verleih. Auf einem Gleisabschnitt gibt es ein parallel verlaufendes Gleis, auf dem Familie Müller zum Wettrennen gegen Familie Nordmann antritt. Die Geschwindigkeitsfunktion der Müllers ist \( v_{M}(t)=-\frac{1}{40} t^{2}+\frac{51}{60} t \), die von Familie Nordmann ist \( v_{N}(t)=\frac{1}{3000} t^{3}-\frac{1}{30} t^{2}+\frac{4}{5} t \).
a) Interpretieren Sie die Bedeutung der von den beiden Graphen zwischen den Schnittpunkten eingeschlossenen Fläche.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.
c) Berechnen Sie den Abstand der beiden Draisinen 40 Sekunden nach dem Start.

Ansatz/Problem

a) Die eingeschlossene Fläche zeigt den Zeitraum an, in dem Familie Müller im Vorsprung ist.

- Muss man dazu noch etwas hinzufügen? und ich verstehe nicht genau, wieso die Geschwindigkeit negativ wird? Fahren sie rückwärts oder werden sie einfach langsamer, weil sie am Ziel angekommen sind? Und was bedeuten die Schnittpunkte, nur dass die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt gleich ist oder befinden sie sich auch auf der gleichen Höhe?

b) Man kann die Randfunktion oder Differenzfunktion zur Berechnung nutzen und dann die Größere minus die kleinere Fläche?

c) Hier weiß ich leider garnicht weiter.

Ich würde mich über jede Hilfe freuen,

vielen Dank.

Answer 1

a) Die eingeschlossene Fläche zeigt den Zeitraum an, in dem Familie Müller im Vorsprung ist.

Nein: Solange fahren Müllers schneller als Nordmanns. Wenn sich die Kurven

schneiden, fahren beide gleich schnell, aber Müllers haben einen Vorsprung.

Dieser entspricht dem Integral von 0 bis zum x-Wert des Schnittpunktes

über die Differenzfunktion v(t)-u(t).

und ich verstehe nicht genau, wieso die Geschwindigkeit negativ wird?

Das Modell gilt eben nur für eine bestimmte Zeit, quasi bis zum Ende des Rennens.

Und was bedeuten die Schnittpunkte, nur dass die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt gleich ist oder befinden sie sich auch auf der gleichen Höhe?

Nur das erstere.

c)  Intergral über die Differenzfunktion von 0 bis 40.

Answer 2

Hier zunächst einmal der Graph

Blau = Müller
Rot = Nordmann

Dies ist ein Geschwindigkeits / Zeit Graph.
t in sec
v in ???

Die Anfangsgeschwindigkeit ist für beide null
Die Geschwindigkeit ist bei 175.85 sec ist für beide gleich

a) Interpretieren Sie die Bedeutung der von den beiden Graphen zwischen den Schnittpunkten eingeschlossenen Fläche.
Dies ist der Abstand der Draisinen bis die Geschwindigkeiten
gieich sind.

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

Differenzfunktion
d ( t ) = f minus g
d ( t ) = 1/40 * t^2 + 51/60 * t minus
( 1/3000 * t^3 - 1/30 * t^2 + 4/5 * t )
d ( t ) = - t^3 / 3000 + 7 * t^2 / 120 + t / 20

Stammfunktion
S = - t^4 / 12000 + 7 * t^3 / 360 + t^2 / 40

A ( t ) = S zwischen 0 und 175.85
A ( t ) = 26821.88624

c) Berechnen Sie den Abstand der beiden Draisinen 40
Sekunden nach dem Start.

d zwischen 0 und 40 = 1071

Soviel zunächst.