Integration einer Funktion mit Produktregel

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= (2x+1)•e^(-x)

Diese soll auf folgender Art integriert werden: Wähle Sie als Ansatz für eine Stammfunktion F zu f(x) einen Term der Gestalt F(x)= (mx+b) • e^(-x) und passe die Koeffizienten m und b geeignet an, indem Sie F‘(X) mit f(x) vergleichen.

Problem/Ansatz:

Verstehe dabei den Ansatz nicht. Mir ist bewusst, dass ich F(x) nochmals aufleiten muss, aber mir ist unklar wie.

Comments

hier mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

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Die Seite kenne ich jetzt auch, aber das hat mir jetzt nicht viel erklärt

Answer 1

Mir ist bewusst, dass ich F(x) nochmals aufleiten muss

Nö, Du sollst es ableiten mit der Produktregel. Und das so, dass die Ableitung f(x) = (2x+1)•e^(-x) ist.

Das ist dann der Fall, wenn m = - 2 und b = - 3

Comments

Okay, kannst du mir mal deinen Rechnerweg zeigen, damit es besser nachzuvollziehen ist

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d/dx (-2x-3) • e^(-x)                                                   Produktregel

= (d/dx (-2x-3)) • e^(-x) + (-2x-3) • d/dx e^(-x)          ableiten

= -2 • e^(-x)                   + (-2x-3) • (- e^(-x))             ausklammern

= (-2                              + 2x+3) • e^(-x)                   -2+3 = 1

= (2x + 1                                  ) • e^(-x)

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Nennt man diese Art lineare Substitution ?

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keine Ahnung, bin nicht Mathematikerin :)

Answer 2

Hallo,

\(F(x)=(mx+b)\cdot e^{-x} \\ u = mx+b\quad v = e^{-x}\\ u'=m\quad v'=-e^{-x}\)

Ableiten mit der Produktregel:

\(f(x)=m\cdot e^{-x}+(mx+b)\cdot (-e^{-x})\\ =(m-mx-b)\cdot e^{-x}\)

Es soll gelten \(m-mx-b=2x+1\)

Damit ist -mx = 2x und m-b= 1

Aus der 1. Gleichung folgt m = -2

In die 2. Gleichung eingesetzt ergibt das b = -3

Gruß, Silvia

Answer 3

Verallgemeinerung: \(\int (mx+b)e^{-x}=(Mx+B)e^{-x}\), weil \(((Mx+B)e^{-x})'=(-Mx+(M-B))e^{-x}\)

Koeffizientenvergleich: \(m=M-B\) und \(-M=m\)