Zeigen Sie, dass die Abbildung wohldefiniert ist

Question

Aufgabe:

Wir definieren die Funktion

\( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{z^{2 k+1}}{(2 k+1) !} \)

1. Zeigen Sie, dass die Abbildung \( f \) wohldefiniert ist (d.h. in diesem Fall, dass die Reihe für jedes \( z \in \mathbb{C} \) konvergiert).

Problem/Ansatz:

Hab leider keinen Ansatz fur die Aufgabe

Answer 1

Hallo,

beiläufig sei erwähnt, dass es sich hier um die Reihendarstellung des Sinus Hyperbolicus handelt. Wenn du \(a_k:=\frac{z^{2 k+1}}{(2 k+1) !}\) setzt, dann kann man das Quotientenkriterium verwenden:$$\begin{aligned}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|&=\left|\frac{\frac{z^{2(k+1)+1}}{(2 (k+1)+1) !}}{\frac{z^{2 k+1}}{(2 k+1) !}}\right|=\left|\frac{z^{2k+3}(2k+1)!}{z^{2k+1}(2k+3)!}\right| \\ &=\left |\frac{z^2(2k+1)!}{(2k+3)(2k+2)(2k+1)!}\right|=\frac{z^2}{(2k+3)(2k+2)}\xrightarrow{k\to \infty}0\end{aligned}$$ und damit ist der Konvergenzradius \(r=\infty\).