Bestimmung kürzester Abstand zwischen Ebene und Koordinaten-Ursprung

Question

Aufgabe:

Eine Ebene E ist durch den Punkt A und den Normalen-Vektor N gegeben.

A:(1,4,3)

N = (3,2,1)

a) Bestimmen Sie den kürzesten Abstand zwischen Ebene und Koordinaten-Ursprung

b) Der Vektor v (4,5,6) soll in zwei Komponenten aufgeteilt werden v = v1 + v2 , so dass v1
senkrecht zu E steht und v2 in E liegt. Bestimmen Sie v2.

Problem/Ansatz:

a) Dies mache ich indem ich die Zahlen von N in quadrat nehme und dann die Wurzel ziehe.

\( \sqrt{3^2+2^2+1^2} \) = 9+4+1 = \( \sqrt{14} \)

Aber ich der Lösung steht: 10/Wurzel von 14?

Woher kommt noch die 10??

b) Hier verstehe ich nicht wie man auf die Lösung

1/7 (-2,-13,32) kommen soll?

Besten Dank für jede Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

zu a) Der Punkt \(A(1|4|3)\) hat den Ortsvektor \(\vec a=(1;4;3)^T\). Ortsvektoren werden vom Urpsrung aus gemessen. Der Normalenvektor \(\vec n=(3;2;1)^T\) der Ebene steht senkrecht auf dieser. Wenn du nun den Ortsvektor \(\vec a\) auf den Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene projezierst, erhältst du den gesuchten Mindestabstand \(d\). Um \(\vec a\) auf \(\vec n\) zu projezieren, musst du \(\vec a\) mit dem Einheitsvektor von \(\vec n\) multiplizieren, daher dividierst du im Folgenden noch durch die Länge von \(\vec n\):$$d=\frac{\vec n\cdot \vec a}{\left\|\vec n\right\|}=\frac{1}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}=\frac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}$$Die Musterlösung ist also falsch.

zu b) Das ist fast dieselbe Rechnung von (a) nochmal, nur mit anderen Zahlen. Und wir sind diesemal nicht nur an der Länge des projezierten Vektors interessiert, sondern brauchen auch seine Richtung. Das heißt, wir müssen dem Ergebnis wieder die Richtung von \(\vec n\) geben:$$\vec v_1=\frac{\vec n\cdot \vec v}{\left\|\vec n\right\|}\cdot\frac{\vec n}{\left\|\vec n\right\|}=\frac{1}{14}\left[\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=\frac{28}{14}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\4\\2\end{pmatrix}$$$$\vec v_2=\vec v-\vec v_1=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}$$Auch hier ist die Musterlösung falsch.

Du solltest dir einen anderen Musterlösungs-Generator suchen ;)

Comments

einen anderen Musterlösungs-Generator suchen

Wenn der Generator eine Leerperson ist, dann könnte das mit Schwierigkeiten verbunden sein. Wenn es wie ein Unfall aussehen soll, dann braucht man zumindest ein gutes Alibi.

Answer 2

Du hast in deiner Rechnung noch nicht berücksichtigt, dass die Vektoren A = (1,4,3) und N = (3,2,1) nicht parallel verlaufen.

Darum der Tipp in der Fragestellung: Aufteilen in zwei Komponenten (Summanden).

Mein Tipp (falls Theorie schon bekannt) zumindest zur Kontrolle: Hessesche Normalform.

Answer 3

Die Ebene hat die Gleichung

E:   ((x - 1) * 3) + ((y - 4) * 2) + ((z - 3) * 1) = 0       in Koordinatenform oder

E:   \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\0\\14 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\0\\-3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\1\\-2 \end{pmatrix}\)          in Parameterform.

Der euklidische Abstand d vom Ursprung zu einem Punkt in E ist

d = \( \sqrt{(r - 0)^2 + (s - 0)^2 + (14-3r-2s - 0)^2} \)

und hat sein Minimum d = \( \sqrt{14} \) bei r = 3 und s = 2.