Nullstellen, Extrema und Wendepunktberechnung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion y = e^x(b-e^x) mit b > 0. Man berechne die Nullstellen, lokalen Extrema, Wendepunkte sowie den Anstieg der Wendetangente. Wie verhält sich die Funktion für x -> ± ∞ ?

Für b = 2 ist der Graph zu skizzieren.

Answer 1

Ich will jetzt erst einmal MIttagessen möchte
dir aber schon die erste Frage beantworten

Gegeben ist die Funktion
y = e^x * (b -e^x) mit b > 0. Man berechne die Nullstellen
e^x * (b -e^x) = 0
Den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Ein Produkt ist dann null wen min einer der Faktoren
null ist

e^x : die e-Funktion ist stets positiv
( b - e^x) = 0
b = e^x
e^x = b | ln ()
ln(e^x) = ln(b)
x = ln ( b )

Nullstellen ( ln ( b )  | 0 )

y = e^x * (b -e^x)
y = e^x * (b -e^(lnb))
y = e^x * (b - b)
y = e^x * 0

Comments

hier der Graph für b = 2
Nullstelle x = ln(2) = 0.69

lokalen Extrema
f ( x ) =  e^x * (b -e^x)
Ableitung mit der Produktregel
u = e^x
u´ = e^x
v = b - e^x
v ´ = - e^x
u´ * v + u * v´
e^x * ( b - e^x ) + e^x * - e^x
f ´( x ) = e^x * ( b - e^x ) - e^(2*x)
Stellen mit waagerechter Tangente
e^x * ( b - e^x ) - e^(2*x = 0
e^x * ( b - e^x ) = e^(2*x)
b - e^x = e^x
2 * e^x = b
e^x = b/2
ln(e^x) = ln(b/2)
x = ln(b/2)
( ln(b/2) | f ( ln(b/2) ) )

für b = 2
x = 0
f ( 0 ) = 1

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Wendepunkte
f ´( x ) = e^x * ( b - e^x ) - e^(2*x)
2.Ableitung
f ´( x ) = e^x * ( b - e^x ) - e^(2*x) * 3
Krümmung null = Wendepunkt
e^x * ( b - e^x ) - e^(2*x) * 3 = 0
b - e^x = e^x * 3
b = 4 * e^x
e^x = b/4
x = ln(b/4) | Wendestelle

für b = 2
x = -0.69
W ( -0.69 | f (-0.69 ) )
W ( -0.69 | 0.75 )

sowie den .Anstieg der Wendetangente.
f ´ ( -0.69 ) = 0.5

Wie verhält sich die Funktion für x -> ± ∞ ?

Schau einmal im Graph nach
Ansonsten -∞ und ∞ für x einsetzen.

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Danke für die ausgezeichnet ausführliche Beschreibung!

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Gern geschehen.

Answer 2

Nullstellen: f(x) = 0, Satz vom Nullprodukt

Extrema: f '(x) =0

Wendepunkte: f ''(x)= 0

Steigung der Tangente: Berechne f '(xW) , xw = Wendestelle

Verwende zum Ableiten: y= e^x*(b-e^x) = b*e^x-e^(2x)

Comments

Eine Frage: Wie geh ich am besten vor wenn ich die Eigenschaften berechnen will? Weil je nach dem welchen Wert b besitzt kommen unterschiedliche werte für x raus.

Z.B. ist bei b=1, die Nullstelle bei x=0.

Gibt es hierfür eine allgemein gültige Lösung?