Zeigen Sie, dass für alle Eigenwerte λ von A ebenfalls λ^n=1 gilt.

Question

Aufgabe:

Sei A eine Matrix, n eine natürliche Zahl. Angenommen, es gilt A^n = E. Zeigen Sie, dass für alle Eigenwerte λ von A ebenfalls λ^n=1 gilt.

Comments

Sie v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert \(\lambda\). Was bedeutet das? Bestimme daraus \(A^nv\) und vergleiche mit \(A^n=E\)

Answer 1

\(A\) genügt der Gleichung \(X^n-1=0\).

Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Eigenwerte von \(A\).

Comments

Aber warum ist das so? Ich komme damit nicht klar. Wir haben das noch überhaupt nicht behandelt.

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Sei \(\lambda\) ein Eigenwert von \(A\) und \(v\neq 0\) ein

zugehöriger Eigenvektor, also \(Av=\lambda v\).

Dann ist \(A^2v=A(Av))=A(\lambda v)=\lambda(Av)=\lambda^2v\), usw...

\(1\cdot v=v=Ev=A^n v=\lambda^n \cdot v\), folglich \(1=\lambda^n\).

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Ist die Aussage den auch umkehrbar?

Oder ist es wenn alle Eigenwerte λ von A die Gleichung A^n=1 dass dann A^n≠E gilt.

Gibt es eine spezielle Matrix die das beweist ? Und auch ein n?