Zeigen Sie, dass für alle Eigenwerte λ von A ebenfalls λn=1 gilt.

Question

Aufgabe:

Sei A eine Matrix, n eine natürliche Zahl. Angenommen, es gilt Aⁿ = E. Zeigen Sie, dass für alle Eigenwerte λ von A ebenfalls λⁿ=1 gilt.

Comments

Sie v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert $\lambda$. Was bedeutet das? Bestimme daraus $A^nv$ und vergleiche mit $A^n=E$

Answer 1

$A$ genügt der Gleichung $X^n-1=0$.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Eigenwerte von $A$.

Comments

Aber warum ist das so? Ich komme damit nicht klar. Wir haben das noch überhaupt nicht behandelt.

---

Sei $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ und $v\neq 0$ ein

zugehöriger Eigenvektor, also $Av=\lambda v$.

Dann ist $A^2v=A(Av))=A(\lambda v)=\lambda(Av)=\lambda^2v$, usw...

$1\cdot v=v=Ev=A^n v=\lambda^n \cdot v$, folglich $1=\lambda^n$.

---

Ist die Aussage den auch umkehrbar?

Oder ist es wenn alle Eigenwerte λ von A die Gleichung Aⁿ=1 dass dann Aⁿ≠E gilt.

Gibt es eine spezielle Matrix die das beweist ? Und auch ein n?