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Aufgabe:

Sei A eine Matrix, n eine natürliche Zahl. Angenommen, es gilt A^n = E. Zeigen Sie, dass für alle Eigenwerte λ von A ebenfalls λ^n=1 gilt.

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Sie v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert \(\lambda\). Was bedeutet das? Bestimme daraus \(A^nv\) und vergleiche mit \(A^n=E\)

1 Antwort

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\(A\) genügt der Gleichung \(X^n-1=0\).

Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Eigenwerte von \(A\).

Avatar von 29 k

Aber warum ist das so? Ich komme damit nicht klar. Wir haben das noch überhaupt nicht behandelt.

Sei \(\lambda\) ein Eigenwert von \(A\) und \(v\neq 0\) ein

zugehöriger Eigenvektor, also \(Av=\lambda v\).

Dann ist \(A^2v=A(Av))=A(\lambda v)=\lambda(Av)=\lambda^2v\), usw...

\(1\cdot v=v=Ev=A^n v=\lambda^n \cdot v\), folglich \(1=\lambda^n\).

Ist die Aussage den auch umkehrbar?

Oder ist es wenn alle Eigenwerte λ von A die Gleichung A^n=1 dass dann A^n≠E gilt.

Gibt es eine spezielle Matrix die das beweist ? Und auch ein n?

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