Erwartungswert und Varianz bei stetiger Zufallsverteilung

Question

Hallo,

Geg: X ist eine ZV mit Wertebereich W =[-1,1] und Dichte f(x)= x/2 +1/2 für x ∈W.

Ges.: E(X), E(X²), Var(X) und Sd(X)

Bei mir kommen die Werte 1/3, 1/3, 8/9 und √8/9 raus. Laut der Aufgabe sollte aber mind. eine Lösung nicht stimmen, da MC Format.

Danke und LG

Answer 1

Aloha :)

Für die Wahrscheinlichkeitsdichte \(f(x)=\frac x2+\frac12\) mit \(x\in W=[-1|1]\) erhalten wir:$$\mu=E(X)=\int\limits_{-1}^1xf(x)\,dx=\int\limits_{-1}^1\left(\frac {x^2}{2}+\frac x2\right)dx=\left[\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{4}\right]_{-1}^1$$$$\phantom{\mu}=\left(\frac16+\frac14\right)-\left(-\frac16+\frac14\right)=\frac13$$$$E(X^2)=\int\limits_{-1}^1x^2f(x)\,dx=\int\limits_{-1}^1\left(\frac {x^3}{2}+\frac {x^2}{2}\right)dx=\left[\frac{x^4}{8}+\frac{x^3}{6}\right]_{-1}^1$$$$\phantom{E(X^2)}=\left(\frac18+\frac16\right)-\left(\frac18-\frac16\right)=\frac13$$$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\mu^2=\frac13-\left(\frac13\right)^2=\frac39-\frac19=\frac29$$$$\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{\frac29}=\frac{\sqrt 2}{3}$$

Answer 2

Ich habe eine Varianz von 2/9. Wie kommst Du auf 8/9?

Comments

ich hab gerechnet \( \int\limits_{-1}^{1} \)(x-1/3)² dx, wobe ich das mal f(x) vergessen hab

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Ok dann hast Du den Fehler ja gleich selber gefunden.