Zeigen Sie, dass jedes ungerade Polynom mindestens eine Nullstelle besitzt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass jedes ungerade Polynom

f : R → R, f(x) = an x^n + ..... + a1 x + a0

mit \( n \in \mathbb{N} \) ungerade, \( a_{k} \in \mathbb{R} \) für alle \( \mathrm{k}=0, \ldots, \mathrm{n} \) und \( a_{n} \neq 0 \) mindestens eine Nullstelle besitzt.

Comments

Tipp: f ist stetig, sowie nach oben und unten nicht beschränkt.

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Meine Antwort war leider falsch.

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Um zu zeigen, dass f weder nach oben noch nach unten beschränkt ist,

klammere \(x^n\) aus ...

Answer 1

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen besitzt, gezählt mit ihren Vielfachheiten. Ist eine Nullstelle komplex so ist auch das konjugiert komplexe davon eine Nullstelle des Polynoms. Somit muss mindestens eine reelle Nullstelle existieren.