Zeigen Sie: Das Polynom f besitzt keine ganzzahlige Nullstelle

Question

Aufgabe:

Sei $$ f ∈ \mathbb{Z}[X]$$ und f(0) und f(1) beide ungerade. Zeigen Sie: Das Polynom f besitzt keine
ganzzahlige Nullstelle, d.h. f(a) ≠ 0 für alle $$a ∈ \mathbb{Z}$$.
Hinweis: Division mit Rest ergibt f = (X − a)q + f(a) mit $$q ∈ \mathbb{Z}[X]$$ und $$a ∈ \mathbb{Z}$$.

Ich hänge bei einer Aufgabe ein wenig. Vielleicht kann mir ja jemand  helfen.

Answer 1

Hallo sniiper,

interessante Aufgabe! :) Das Kriterium kannte ich noch gar nicht.

Sei \( f \in \mathbb{Z}[x] \) ein Polynom mit \( f(0), f(1) \) ungerade.

Angenommen \( a \in \mathbb{Z} \) ist eine Nullstelle von \( f \), dann gilt \( f(a) = 0 \) und man findet ein Polynom \(q \in \mathbb{Z}[x] \) mit \( f = (x-a)q \). Jetzt ist

\( f(0) = (-a) q(0) \) ungerade \( \implies \) \(-a\) ungerade und \( q(0) \) ungerade.

\( f(1) = (1-a) q(1) \) ungerade \( \implies \) \(1-a\) ungerade und \( q(1) \) ungerade.

Ein Produkt ist nämlich nur genau dann ungerade, wenn beide Faktoren ungerade sind.

Die Differenz von zwei ungeraden Zahlen ist gerade, also ist \( 1 = (1-a) - (-a) \) gerade, Widerspruch.