s(u + w) = u − w keine Abbildung ist, wenn V = U + W keine direkte Summe ist.

Question

Aufgabe:

Sei V ungleich {0} ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und U, W ungelcih {0}
zwei nichttriviale Untervektorräume von V .

(ii) Sei V = U ⊕ W und sei s : V −→ V gegeben durch s(u + w) = u − w. Zeigen Sie, dass die Zuordnungsvorschrift s(u + w) = u − w keine Abbildung ist,
wenn V = U + W keine direkte Summe ist.

könnte bitte mir jemand bei dieser Teilaufgabe helfen. Da komme ich gar nicht voran.

Answer 1

Bei direkter Summe gibt es ja für jedes v∈V nur genau ein Paar (u,w) ∈ UxW

mit v= u+w. Und damit ist zu jedem v das Ergebnis von u - w

eindeutig bestimmt.

Ist die Summe nicht direkt, gibt es also ein v ∈ V, das durch verschiedene

Paare (u1,w1) und (u2,w2) als Summe dargestellt wird.

v= u1+w1 und v=u2+w2.  Durch die Differenzen u-w wäre

nur dann eine Abbildung definiert, wenn für alle Paare (u,w) mit v=u+w

immer die gleiche Differenz entstünde.

Angenommen u1-w1 = u2-w2 und v= u1+w1 und v=u2+w2.

==>                u1-w1 = u2-w2 und  u1 = v - w1 und u2=v - w2.

==>      v - w1 - w1 = v - w2 - w2

==>                   -2w1 = -2w2

==>                       w1 = w2

Dann folgt aber aus u1-w1 = u2-w2 auch  u1=u2,

also sind die Paare (u1,w1) und (u2,w2) gleich.

Im Widerspruch zur Annahme:

Es gibt ein v ∈ V, das durch verschiedene

Paare (u1,w1) und (u2,w2) als Summe dargestellt wird.