Differenzenquotient von Funktion

Question

Aufgabe:

1) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2^x. Zeigen Sie, dass für jede reelle Zahl a der Differenzenquotient von f im intervall [a; a+2] mit 3|2 ×f(a) übereinstimmen.

2)

Gegeben sind die Funktion f mit f(x) =x² und g mit g(x)= 1/2 (x²+x). Zeigen sie, dass der Differenzenquotient von f im Intervall [1;b] mit der Differenzenquotient von g im intervall [b;b+1] übereinstimmt.

Problem/Ansatz

Hallo, ich habe leider Probleme bei der zwei Aufgaben und zwar ich weiß nicht wie ich es berechnen soll. Ob jemand mir eine kurze Erklärung geben könnte.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Hier musst du den Differenzenquotienten berechnen:$$\frac{f(a+2)-f(a)}{(a+2)-a}=\frac{2^{a+2}-2^a}{2}=\frac{2^2\cdot2^a-2^a}{2}=\frac{4\cdot2^a-2^a}{2}=\frac{3\cdot2^a}{2}=\frac32f(a)$$

zu b) Hier müssen wir zwei Differenzenquotienten miteinander vergleichen:$$\frac{f(b)-f(1)}{b-1}=\frac{b^2-1^2}{b-1}=\frac{(b+1)(b-1)}{b-1}=b+1$$$$\frac{g(b+1)-g(b)}{(b+1)-b}=\frac{\frac12((b+1)^2+(b+1))-\frac12(b^2+b)}{1}=\frac{b^2+2b+1+b+1-b^2-b}{2}=b+1$$Offensichtlich sind beide Differenzenquotienten gleich.