Aloha :)
Die momentane Änderungsrate der Funktion$$F(x;y)=7x^{0,57}y^{0,29}$$ist durch das totale Differential gegeben:$$dF(x;y)=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy=7\cdot0,57x^{-0,43}y^{0,29}\,dx+7\cdot0,29x^{0,57}y^{-0,71}dy$$$$\phantom{dF(x;y)}=\frac{0,57}{x}\cdot7x^{0,57}y^{0,29}\,dx+\frac{0,29}{y}\cdot7x^{0,57}\cdot x^{0,29}\,dy$$$$\phantom{dF(x;y)}=\frac{0,57}{x}\cdot F(x;y)\,dx+\frac{0,29}{y}\cdot F(x;y)\,dy$$Da hier das Niveau der Funktion \(F\) beibehalten werden soll, ist die Änderung \(dF(x;y)\) gleich \(0\). Wir können daher die linke Seite der Gleichung gleich \(0\) setzen und dann direkt auf beiden Seiten durch \(F(x;y)\) dividieren:$$0=\frac{0,57}{x}\cdot F(x;y)\,dx+\frac{0,29}{y}\cdot F(x;y)\,dy\quad\implies\quad\frac{0,57}{x}\,dx+\frac{0,29}{y}\,dy=0$$Das stellen wir nach \(dy\) um und erhalten:$$dy=-\frac{y}{0,29}\cdot\frac{0,57}{x}\,dx=-\frac{57}{29}\cdot\frac yx\cdot dx$$Speziell in diesem Fall betrachten wir die Änderungsraten im Punkt \(a=(3;3)\), sodass \(x=y=3\) ist. Das heißt für unser Ergebnis:$$dy=-\frac{57}{29}\,dx$$Wenn sich also \(x\) um eine Einheit \(dx=1\) ändert, muss sich \(y\) um \(dy=-\frac{57}{29}\approx-1,9655\) Einheiten ändern, damit das Niveau konstant bleibt.
