Lagrange-Methode: Näherungsweise Änderung der Produktionsmenge

Question

Ein Unternehmen stellt aus den beiden Produktionsfaktoren \( F_{1} \) und \( F_{2} \) das Produkt \( P \) her. Die produzierte Menge \( y \) von Produkt \( P \) ergibt sich durch die Produktionsfunktion

\( y=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=8 \sqrt{x_{1}}+4 x_{2} \)

wobei \( x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}_{+} \) die Menge der Produktionsfaktoren \( F_{1} \) und \( F_{2} \) ist. Das Unternehmen möchte die Produktionsmenge \( y \) maximieren, darf jedoch das vorgegebene Kostenbudget in Höhe von \( 1.800 \) Geldeinheiten nicht überschreiten, so dass folgende Budgetrestriktion zu beachten ist:

\( 2 x_{1}+12 x_{2}=1.800 \)

a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode die maximale Produktionsmenge \( y \). Bestimmen Sie auch den zugehörigen Lagrange-Multiplikator. (Hinweis: Die hinreichenden Bedingungen sind nicht zu überprüfen!)

b) Wie ändert sich näherungsweise die Produktionsmenge \( y \), wenn das Budget um 30 Geldeinheiten steigt? (Hinweis: Verwenden Sie für Ihre Argumentation den in Aufgabenteil a) ermittelten Lagrange-Multiplikator!)

Kann mir jemand beim Aufgabenteil b weiterhelfen? Die a ist mir klar, die Lösungen sind zu a: y = 624, lambda =1/3 und zu b: y = +10.

Answer 1

a)

\( f(x, y)=8 \sqrt{x}+4 y \)

\( 2 x+12 y=1800 \)

\( f(x, y, \lambda)=8 \sqrt{x}+4 y+\lambda \cdot(x+6 y-900) \)

\( \frac{d f(x, y, \lambda)}{d x}=\frac{8}{2 \cdot \sqrt{x}}+\lambda \)

\( \frac{d f(x, y, \lambda)}{d y}=4+6 \lambda \)

1. \( \frac{4}{\sqrt{x}}+\lambda=0 \)

2. \( 2+3 \lambda=0 \rightarrow \lambda=-\frac{2}{3} \)

\( \frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{2}{3}=0 \)

\( x=36 \)

\( 2 \cdot 36+12 y=1800 \)

\( y=144 \)

\( f=8 \sqrt{36}+4 \cdot 144=624 \)

b) Budget 1830 mit \( \lambda=-\frac{2}{3} \)

\( \frac{d f(x, y, \lambda)}{d x}=\frac{8}{2 \cdot \sqrt{x}}-\frac{2}{3} \)

\( \frac{8}{2 \cdot \sqrt{x}}-\frac{2}{3}=0 \)

\( x=36 \)

\( 2 \cdot 36+12 y=1830 \)

\( y=\frac{293}{2} \)

\( f=8 \cdot 6+4 \cdot \frac{293}{2}=634 \)

Neue Produktionsmenge ist um 10 Einheiten größer.

mfG Moliets