Berechnen Sie näherungsweise. Lagrange Funktion

Question

Aufgabe:

Was ist die Zielfunktion und was ist die Nebenbedigung?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe wie ich die Aufgabe rechnen muss, allerdings hänge ich beim Anfang fest was die Ziel- und was davon die Nebenbedingung ist. Könnte mir jemand helfen?

Text erkannt:

13. [15 Minuten]
a. Ein Hersteller von Kochtöpfen soll zylindrische Kochtöpfe einfachster Bauart mit zwei Kubikdezimetern Volumen herstellen. Wie sind der Radius und die Höhe dieses Topfes zu wählen, wenn die Länge der gesamten Schweißnaht, die am Bodenrand und längs einer Mantellinie verläuft, möglichst kurz werden soll?
Schweissnaht Hinweis:

Volumen eines Zylinders mit Höhe \( \mathrm{h} \) und Radius \( \mathrm{r}: \quad V=\pi \cdot r^{2} \cdot h \)
Umfang eines Kreises mit Radius \( \mathrm{r} \) :
\( U=2 \pi \cdot r \)
b. Um wieviel wird sich die Schweißnaht verlängern, wenn das Volumen des Kochtopfs auf 2,1 Kubikdezimeter erhöht wird? Berechnen Sie näherungsweise.

Answer 1

Zielfunktion ist die Länge der Schweißnaht

Nebenbedingung ist das Fassungsvermögen der Dose, das gegebene Volumen.

Answer 2

Zielfunktion:
\(L(r,h)=2rπ+h\) soll minimal werden.

NB:

\(V(r,h)=r^2*π*h=2dm^{3}\)   →\(h=\frac{2}{r^2π}\)

\(L(r)=2rπ+\frac{2}{r^2π}=\frac{2r^3π^2+2}{r^2π}\)

\(L´(r)=\frac{6r^2π^2*r^2π-(2r^3π^2+2)*2rπ  }{r^4π^2}=\frac{2r^4π^3-4rπ  }{r^4π^2}=\frac{2r^3π^2-4  }{r^3π}\)

\(\frac{2r^3π^2-4  }{r^3π}=0\)

\(r^3 =\frac{2}{π^2}\)

\(r =\sqrt[3]{\frac{2}{π^2}}=(\frac{2}{π^2})^{\frac{1}{3}}≈0,59dm \)    → \(h=\frac{2}{(\frac{2}{π^2})^{\frac{2}{3}}π}≈1,08dm\)

Answer 3

Generell ist die Zielfunktion der Ausdruck, der optimiert werden soll. Also dafür im Text Ausschau nach Worten wie "maximal", "minimal", "möglichst kurz/lang/groß/preiswert" usw. halten.

Die Nebenbedingung ist im Unterschied dazu gar keine Funktion, sondern eine Bedingung, hier eine Gleichung. Irgendetwas ist fest vorgegeben. Dazu im Text z.B. nach konkreten Zahlen suchen.

Für die Anwendung der Lagrange-Methode ist die NB noch in die Form \(....=0\) zu bringen.