Näherungsweise die Ableitung einer Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ = 2 mithilfe des Differenzenquotienten für h→0

c) f(x₀) = 2x²-3

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre :

f(x₀) = [f(x₀+h)-f(x₀)] / h

für "h" habe ich 0,1 eingesetzt

fstrich(2) = [(2*2²-3+0,1)-(2*2²-3)] / 0,1

Zusammengefasst: [5,1-5] / 0,1

mein Problem ist, dass diese Rechnung 1 ergeben würde.

Was mache ich hier falsch?

Comments

h→0

Anmerkung zu deiner Überschrift: Sobald du den Grenzwert (Limes) richtig bestimmt hast, ist das keine näherungsweise Ableitung mehr. Die Ableitung an der Stelle xo = 2 stimmt dann exakt.

Answer 1

Hier hast du das gleiche Problem wie vorhin. Du musst an der Stelle wo ein x steht eine Klammer setzen in der (x+h) steht. Also hast du

[(2(x+h)^2-3) - (2x^2-3)]/h

Beachte dass du nun die Klammer mit dem (x+h) mit der binomischen Formel auflösen musst.

Answer 2

\({f'(x) = }\) \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{(2(x+h)^2-3)-(2x^2-3)}{h} \) =  ausmultiplizieren                                                 

\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{(2(x^2+2xh+h^2)-3)- (2x^2 -3)}{h} \) =

\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{(2x^2+4xh+2h^2-3)-(2x^2-3)}{h} \) = kürzen

\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{4xh+2h^2}{h} \) =  durch h teilen/kürzen

\( \lim\limits_{h\to0} \) \( {4x+2h} \) =  \( { 4x }\)  hier für h 0 einsetzen

An der Stelle x = 2

 ⇒ \({f'(2) =}\) \( \lim\limits_{h\to0} \) \( {4*2+2h} \) =  \( { 4*2 = 8 }\)

du kannst von anfang an mit x = 2 Rechnen

Comments

Das ist exakt und keine Näherung mehr.

Die Schreibweise

h→0

impliziert allerdings die Limesbildung, die du vorgeführt hast.