Aufgabe: Prothero-Robinson Testgleichung.
Wir wollen die numerische Approximation der Testgleichung nach Prothero-Robinson
\( y^{\prime}=\lambda(y-\varphi)+\varphi^{\prime}, \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0} \quad(y, \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \lambda \in \mathbb{R}) \)
mit einer Konstanten \( \lambda \ll 0 \) und einer glatten sich langsam verändernden Funktion \( \varphi \) untersuchen.
Dazu diskretisieren wir die Gleichung auf einem äquidistanten Gitter \( x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \) mit Schrittweite \( h \). Wir definieren den globalen Fehler \( e_{h} \) eines numerischen Verfahrens
\( e_{h}\left(x_{k}\right):=y\left(x_{k}\right)-y_{k} \quad \text { für } k=0,1, \ldots, n . \)
Das explizite Euler-Verfahren \( \quad y_{k+1}=y_{k}+h f\left(x_{k}, y_{k}\right) \quad \) und das implizite EulerVerfahren \( \quad y_{k+1}=y_{k}+h f\left(x_{k+1}, y_{k+1}\right) \quad \) generieren die lokalen Fehler \( e_{k+1}^{\text {loc }} \) wie folgt:
\( \begin{aligned} e_{k+1}^{\text {loc }} &:=y\left(x_{k+1}\right)-\left[y\left(x_{k}\right)+h f\left(x_{k}, y\left(x_{k}\right)\right)\right] \\ e_{k+1}^{\text {loc }} &:=y\left(x_{k+1}\right)-\left[y\left(x_{k}\right)+h f\left(x_{k+1}, y\left(x_{k+1}\right)\right)\right] . \end{aligned} \)
a) Stellen Sie den globalen Fehler \( e_{h}\left(x_{k+1}\right) \) für das explizite Euler-Verfahren bezüglich der lokalen Fehler \( e_{i}^{\text {loc }} \) für \( i=1, \ldots, k+1 \) dar. Welche Bedingung an die Schrittweite ist erforderlich, damit die lokalen Fehler nicht verstärkt werden?
b) Analysieren Sie die numerische Lösung aus dem impliziten Euler-Verfahren. Was sind in diesem Fall die Bedingungen an die Schrittweite?
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?
Danke im Voraus!
